Questão 44. Seja
um anel qualquer. Mostre que
pode ser imerso em um anel
com identidade. Em outras palavras mostre que existe um homomorfismo sobrejetor entre
e um anel com identidade
. Esse exercício nos mostre que qualquer anel (mesmo que sem identidade) está contido em um anel com identidade.
Passo 1
O enunciado nos dá um anel qualquer
, possivelmente sem elemento identidade, e pede para mostrarmos que existe um anel unitário
e um homomorfismo injuntivo de
em
. O conteúdo aqui é a construção do anel “com identidade adjunta” a
.
Passo 2
Definimos
com as operações ponto a ponto na primeira coordenada e totalmente misturadas na segunda, assim: para
,
A ideia é incorporar um “
” novo, vindo de
, sem mudar a adição original de
.
Passo 3
Agora mostramos que
é um anel unitário.
- Associatividade e comutatividade da soma seguem de
e de . - A distributividade de
sobre se verifica usando apenas a distributividade em e em . - A associatividade do produto em
pede um cálculo direto, mas usa unicamente a associatividade em e em . - O elemento neutro do produto em
é
pois para todo
:
e o mesmo vale trocando a ordem. Logo
é um anel com identidade
.
Passo 4
Definimos o mapa
Verificações:
- Para
,
- Para
,
- Se
, então e portanto . Logo e é injuntiva.
Resposta
O anel
, com identidade
, contém uma cópia isomorfa de
por meio do homomorfismo injuntivo
. Portanto todo anel
pode ser imerso num anel unitário
.