Questão 45. Sejam
, o anel das funções reais contínuas,
e
definida por
.
a) Mostre que
é um homomorfismo de anéis sobrejetor.
b) Determine
e
.
c) Identifique o anel quociente
.
a) Mostre que
b) Determine
c) Identifique o anel quociente
Passo 1
O enunciado trabalha com o anel
das funções contínuas de
em
e a aplicação
para um ponto fixo
. Precisamos mostrar que
é um homomorfismo de anéis sobrejetor, e então determinar
,
e identificar o quociente
.
Passo 2
Mostramos que
preserva soma, produto e unidade de
. Para
e
a função constante igual a
, temos
Logo
é homomorfismo de anéis unitários.
Passo 3
Para ver que
é sobrejetor, tome um valor arbitrário
. A função constante
é contínua e satisfaz
. Assim
.
Passo 4
O núcleo de
são as funções que se anulam em
. Logo
Passo 5
Já vimos que
, pois todo
é valor de
em alguma função constante.
Passo 6
Pelo Teorema do Homomorfismo de Anéis,
A isomorfia concreta envia a classe
em
para
.
Resposta
a)
é homomorfismo de anéis unitários e é sobrejetor.
b) e
.
c)
b)
c)