Questão 46. Sejam
e
um ideal maximal em
. Mostre que existe um
tal que
, onde
Passo 1
O enunciado define o anel
e diz que
é um ideal maximal próprio em
. Queremos mostrar que existe um ponto
tal que
onde
Passo 2
Defina o conjunto dos zeros comuns de
por
Suponha, por absurdo, que
. Então para cada
existe
tal que
. Como cada
é contínua,
é aberto em
, e pelos pressupostos
Pela compacidade de
extraímos uma subcobertura finita
. Defina
Então
para todo
, logo
é invertível em
; mas
e
é ideal, daí existe
com
, isto é,
, contradizendo que
é próprio. Portanto
.
Passo 3
Escolha qualquer
. Por definição de
, para todo
vale
, o que implica
Mas
é um ideal maximal próprio de
e
também é maximal, então a inclusão força
Resposta
Foi mostrado que existe
tal que