Questão 46

Um piloto está voando a uma altura de 5000 pés e avista um aeroporto a uma distância horizontal de 8000 pés. Determine qual é o ângulo de elevação do radar entre o solo e o avião para que o aeroporto possa avistá-lo.
(A) \operatorname{arctg}(0,675)
(B) \operatorname{arctg}(0,5)
(C) \operatorname{arctg}(0,625)
(D) \operatorname{arctg}(1,6)

Passo 1

O enunciado dá duas informações geométricas e pede um ângulo. Informações dadas:
\;5000 pés = altura do avião acima do solo (distância vertical).
\;8000 pés = distância horizontal entre o aeroporto e a posição vertical abaixo do avião (distância horizontal).
Pergunta: determinar o ângulo de elevação do radar entre o solo e o avião (o ângulo formado entre a linha do solo horizontal e a linha de visão do aeroporto ao avião).

Passo 2

Vamos modelar a situação por um triângulo retângulo (é a forma clássica aqui). Identificações no triângulo:
  • O vértice no aeroporto corresponde ao ângulo que queremos, que chamo de \theta.
  • O cateto oposto a \theta é a altura do avião: \;5000 pés.
  • O cateto adjacente a \theta é a distância horizontal: \;8000 pés.
    Desenhar mentalmente (ou no rascunho): um triângulo retângulo com altura vertical 5000 e base horizontal 8000; o ângulo no extremo esquerdo da base é \theta.

Passo 3

Usamos a razão trigonométrica tangente, que é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente num triângulo retângulo. Definição:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui isso significa
\tan(\theta)=\frac{5000}{8000}.
Explicando: \theta é o ângulo no solo; ao aproximar-se do avião, a razão entre altura e distância horizontal é exatamente a tangente desse ângulo.

Passo 4

Simplificamos a fração \frac{5000}{8000}. Dividindo numerador e denominador por 1000 obtemos
\frac{5000}{8000}=\frac{5}{8}.

Passo 5

Converter \frac{5}{8} para decimal (útil para comparar com as alternativas). Calculamos:
\frac{5}{8}=0{,}625.
(para calcular na prova sem calculadora: 8 cabe 0 vezes em 5; multiplica-se por 10 e prossegue a divisão longamente ou reconhece-se que 5/8 é 0{,}625.)

Passo 6

Agora isolamos o ângulo aplicando a função inversa da tangente (arco-tangente). Assim
\theta=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{5}{8}\right)=\operatorname{arctg}\!\left(0{,}625\right).
Observação: \operatorname{arctg} é apenas a notação para o ângulo cuja tangente é o número entre parênteses.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com nosso resultado é
\operatorname{arctg}(0{,}625),
que é a alternativa (C).

Resposta

(C) \operatorname{arctg}(0{,}625)

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