Questão 46
Um piloto está voando a uma altura de 5000 pés e avista um aeroporto a uma distância horizontal de 8000 pés. Determine qual é o ângulo de elevação do radar entre o solo e o avião para que o aeroporto possa avistá-lo.
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá duas informações geométricas e pede um ângulo. Informações dadas:
pés = altura do avião acima do solo (distância vertical).
pés = distância horizontal entre o aeroporto e a posição vertical abaixo do avião (distância horizontal).
Pergunta: determinar o ângulo de elevação do radar entre o solo e o avião (o ângulo formado entre a linha do solo horizontal e a linha de visão do aeroporto ao avião).
Pergunta: determinar o ângulo de elevação do radar entre o solo e o avião (o ângulo formado entre a linha do solo horizontal e a linha de visão do aeroporto ao avião).
Passo 2
Vamos modelar a situação por um triângulo retângulo (é a forma clássica aqui). Identificações no triângulo:
- O vértice no aeroporto corresponde ao ângulo que queremos, que chamo de
. - O cateto oposto a
é a altura do avião: pés. - O cateto adjacente a
é a distância horizontal: pés.
Desenhar mentalmente (ou no rascunho): um triângulo retângulo com altura verticale base horizontal ; o ângulo no extremo esquerdo da base é .
Passo 3
Usamos a razão trigonométrica tangente, que é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente num triângulo retângulo. Definição:
Aqui isso significa
Explicando:
é o ângulo no solo; ao aproximar-se do avião, a razão entre altura e distância horizontal é exatamente a tangente desse ângulo.
Passo 4
Simplificamos a fração
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 5
Converter
para decimal (útil para comparar com as alternativas). Calculamos:
(para calcular na prova sem calculadora:
cabe
vezes em
; multiplica-se por
e prossegue a divisão longamente ou reconhece-se que
é
.)
Passo 6
Agora isolamos o ângulo aplicando a função inversa da tangente (arco-tangente). Assim
Observação:
é apenas a notação para o ângulo cuja tangente é o número entre parênteses.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com nosso resultado é
que é a alternativa (C).
Resposta
(C)