QUESTÃO 45 - Em uma fábrica, 3 máquinas (
e
) produzem taças de um mesmo tipo. A máquina X produz
das taças, a Y produz
, e a Z ,
. A porcentagem de taças defeituosas varia conforme a máquina:
- Máquina
:
das peças são defeituosas.
- Máquina Y:
das peças são defeituosas.
- Máquina Z: 5% das peças são defeituosas.
Uma taça é escolhida aleatoriamente do estoque de produção dessa fábrica. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina
, dado que a peça está com defeito?
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado descreve um problema de probabilidade condicional (teorema de Bayes). Temos três máquinas
,
e
que produzem frações diferentes das taças e cada uma tem uma certa taxa de defeito. A pergunta é encontrar
onde
é o evento “a taça está com defeito”. Para resolver, vamos precisar das probabilidades
,
,
, das probabilidades condicionais
,
,
e da lei da probabilidade total para
.
Passo 2
Definimos as probabilidades fornecidas:
,
,
.
As taxas de defeito são
As taxas de defeito são
Passo 3
Usamos a lei da probabilidade total para obter
:
Substituindo os valores,
Passo 4
Aplicamos o teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
B)