QUESTÃO 45 - Em uma fábrica, 3 máquinas ( X, Y e Z ) produzem taças de um mesmo tipo. A máquina X produz 60 \% das taças, a Y produz 30 \%, e a Z , 10 \%. A porcentagem de taças defeituosas varia conforme a máquina:
  • Máquina X : 1 \% das peças são defeituosas.
  • Máquina Y: 4 \% das peças são defeituosas.
  • Máquina Z: 5% das peças são defeituosas.
Uma taça é escolhida aleatoriamente do estoque de produção dessa fábrica. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina X, dado que a peça está com defeito?
A) 5 / 23.
B) 6 / 23.
C) 7 / 23.
D) 8 / 23.
E) 9 / 23.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de probabilidade condicional (teorema de Bayes). Temos três máquinas X, Y e Z que produzem frações diferentes das taças e cada uma tem uma certa taxa de defeito. A pergunta é encontrar
P(X \mid D),
onde D é o evento “a taça está com defeito”. Para resolver, vamos precisar das probabilidades P(X), P(Y), P(Z), das probabilidades condicionais P(D\mid X), P(D\mid Y), P(D\mid Z) e da lei da probabilidade total para P(D).

Passo 2

Definimos as probabilidades fornecidas: P(X)=0,6, P(Y)=0,3, P(Z)=0,1.
As taxas de defeito são
P(D\mid X)=0,01,\quad P(D\mid Y)=0,04,\quad P(D\mid Z)=0,05.

Passo 3

Usamos a lei da probabilidade total para obter P(D):
P(D)=P(D\mid X)P(X)+P(D\mid Y)P(Y)+P(D\mid Z)P(Z).
Substituindo os valores,
P(D)=0,01\cdot0,6+0,04\cdot0,3+0,05\cdot0,1 =0,006+0,012+0,005 =0,023.

Passo 4

Aplicamos o teorema de Bayes para encontrar P(X\mid D):
P(X\mid D) =\frac{P(D\mid X)\,P(X)}{P(D)} =\frac{0,01\cdot0,6}{0,023} =\frac{0,006}{0,023} =\frac{6}{23}.

Resposta

B) 6/23

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