Questão 45

Em um programa de auditório, o convidado deve escolher uma dentre três portas. Atrás de uma das portas há um carro e atrás de cada uma das outras duas há um bode. O convidado ganhará o que estiver atrás da porta; devemos supor neste problema que o convidado prefere ganhar o carro. O procedimento para escolha da porta é o seguinte: o convidado escolhe inicialmente, em caráter provisório, uma das três portas. O apresentador do programa, que sabe o que há atrás de cada porta, abre neste momento uma das outras duas portas, sempre revelando um dos dois bodes. O convidado agora tem a opção de ficar com a primeira porta que ele escolheu ou trocar pela outra porta fechada. Suponha que o candidato escolha por trocar pela outra porta fechada. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, o convidado tenha escolhido a porta que conduz ao carro é igual a:
(A) 50 \%.
(B) 33,3 \%.
(C) 66,7 \%.
(D) 100 \%.
(E) 40 \%.

Passo 1

O enunciado dá estas informações e faz esta pergunta:
  • Há três portas: atrás de uma há um carro e atrás das outras duas há bodes.
  • O convidado escolhe inicialmente uma porta, provisoriamente.
  • O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das outras duas portas e sempre revela um bode.
  • O convidado decide trocar: ele abandona sua porta inicial e passa a escolher a única porta fechada restante.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que, após trocar, o convidado consiga o carro?

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicado devagar): quando o convidado faz a primeira escolha entre as três portas, todas as três portas são iguais para ele, logo a probabilidade de ter escolhido o carro nessa escolha inicial é
P(\text{carro na escolha inicial})=\tfrac{1}{3}.
Consequentemente, a probabilidade de ter escolhido um bode na primeira escolha é
P(\text{bode na escolha inicial})=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Isto é simples: uma das três portas tem carro ( \tfrac{1}{3}), as outras duas têm bode ( \tfrac{2}{3}).

Passo 3

Agora entenda o papel do apresentador: ele sabe onde está o carro e sempre abre uma das portas que ele tem certeza que tem bode, deixando exatamente uma porta fechada além da escolhida inicialmente. Isso cria duas situações disjuntas e fáceis de enumerar:
  • Caso A: o jogador, na escolha inicial, tenha acertado o carro (ocorre com probabilidade \tfrac{1}{3}). Então as outras duas portas têm bodes; o apresentador abre uma delas (um bode) e, se o jogador trocar, ele troca do carro para um bode — ou seja, perde.
  • Caso B: o jogador, na escolha inicial, tenha escolhido um bode (ocorre com probabilidade \tfrac{2}{3}). Nesse caso existe exatamente uma das duas portas restantes que tem o carro; o apresentador não abre essa porta (ele abre a outra, que tem bode). Assim, se o jogador trocar, ele troca do bode inicial para a porta que tem o carro — ou seja, ganha.

Passo 4

Vamos enumerar concretamente para fixar (suponha portas rotuladas 1,2,3 e o carro pode estar em qualquer uma com probabilidade \tfrac{1}{3}):
  • Se o carro estiver em 1 e o jogador escolheu 1 inicialmente (probabilidade \tfrac{1}{3} de ocorrer esse cenário conjunto), trocar faz perder.
  • Se o carro estiver em 1 e o jogador escolheu 2 inicialmente (probabilidade \tfrac{1}{3}), o apresentador abre 3 e trocar leva ao carro (ganha).
  • Se o carro estiver em 1 e o jogador escolheu 3 inicialmente (probabilidade \tfrac{1}{3}), o apresentador abre 2 e trocar leva ao carro (ganha).
    Esses três casos mostram que, entre as três situações igualmente prováveis da escolha inicial, trocar dá vitória em dois casos e derrota em um. Portanto a probabilidade de vencer ao trocar é
P(\text{vitória trocando})=\tfrac{2}{3}.ó

Passo 5

Outra forma curta de ver: trocar dá certo exatamente quando a escolha inicial estava errada. Como a probabilidade de escolha inicial estar errada é \tfrac{2}{3}, segue imediatamente que
P(\text{vitória trocando})=\tfrac{2}{3}\approx 0,666\ldots=66{,}7\%.ó

Passo 6

Resumo intuitivo para lembrar na prova: a primeira escolha tem só \tfrac{1}{3} de chance de ser o carro. O apresentador, ao abrir uma porta com bode, não muda a chance de a sua escolha inicial ter sido boa; ele apenas revela informação. Assim, a probabilidade de o carro estar na outra porta fechada (se você trocar) é a probabilidade de você ter começado errado, ou seja \tfrac{2}{3}. Respira fundo: trocar é a melhor estratégia!

Resposta

(C) 66{,}7\%

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