Questão 45
Em um programa de auditório, o convidado deve escolher uma dentre três portas. Atrás de uma das portas há um carro e atrás de cada uma das outras duas há um bode. O convidado ganhará o que estiver atrás da porta; devemos supor neste problema que o convidado prefere ganhar o carro. O procedimento para escolha da porta é o seguinte: o convidado escolhe inicialmente, em caráter provisório, uma das três portas. O apresentador do programa, que sabe o que há atrás de cada porta, abre neste momento uma das outras duas portas, sempre revelando um dos dois bodes. O convidado agora tem a opção de ficar com a primeira porta que ele escolheu ou trocar pela outra porta fechada. Suponha que o candidato escolha por trocar pela outra porta fechada. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, o convidado tenha escolhido a porta que conduz ao carro é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá estas informações e faz esta pergunta:
- Há três portas: atrás de uma há um carro e atrás das outras duas há bodes.
- O convidado escolhe inicialmente uma porta, provisoriamente.
- O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das outras duas portas e sempre revela um bode.
- O convidado decide trocar: ele abandona sua porta inicial e passa a escolher a única porta fechada restante.
- Pergunta: qual é a probabilidade de que, após trocar, o convidado consiga o carro?
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicado devagar): quando o convidado faz a primeira escolha entre as três portas, todas as três portas são iguais para ele, logo a probabilidade de ter escolhido o carro nessa escolha inicial é
Consequentemente, a probabilidade de ter escolhido um bode na primeira escolha é
Isto é simples: uma das três portas tem carro (
), as outras duas têm bode (
).
Passo 3
Agora entenda o papel do apresentador: ele sabe onde está o carro e sempre abre uma das portas que ele tem certeza que tem bode, deixando exatamente uma porta fechada além da escolhida inicialmente. Isso cria duas situações disjuntas e fáceis de enumerar:
- Caso A: o jogador, na escolha inicial, tenha acertado o carro (ocorre com probabilidade
). Então as outras duas portas têm bodes; o apresentador abre uma delas (um bode) e, se o jogador trocar, ele troca do carro para um bode — ou seja, perde. - Caso B: o jogador, na escolha inicial, tenha escolhido um bode (ocorre com probabilidade
). Nesse caso existe exatamente uma das duas portas restantes que tem o carro; o apresentador não abre essa porta (ele abre a outra, que tem bode). Assim, se o jogador trocar, ele troca do bode inicial para a porta que tem o carro — ou seja, ganha.
Passo 4
Vamos enumerar concretamente para fixar (suponha portas rotuladas
e o carro pode estar em qualquer uma com probabilidade
):
- Se o carro estiver em
e o jogador escolheu inicialmente (probabilidade de ocorrer esse cenário conjunto), trocar faz perder. - Se o carro estiver em
e o jogador escolheu inicialmente (probabilidade ), o apresentador abre e trocar leva ao carro (ganha). - Se o carro estiver em
e o jogador escolheu inicialmente (probabilidade ), o apresentador abre e trocar leva ao carro (ganha).
Esses três casos mostram que, entre as três situações igualmente prováveis da escolha inicial, trocar dá vitória em dois casos e derrota em um. Portanto a probabilidade de vencer ao trocar é
Passo 5
Outra forma curta de ver: trocar dá certo exatamente quando a escolha inicial estava errada. Como a probabilidade de escolha inicial estar errada é
, segue imediatamente que
Passo 6
Resumo intuitivo para lembrar na prova: a primeira escolha tem só
de chance de ser o carro. O apresentador, ao abrir uma porta com bode, não muda a chance de a sua escolha inicial ter sido boa; ele apenas revela informação. Assim, a probabilidade de o carro estar na outra porta fechada (se você trocar) é a probabilidade de você ter começado errado, ou seja
. Respira fundo: trocar é a melhor estratégia!
Resposta
(C)