Questão 43
A altura do cone de revolução circunscrito a uma esfera de raio
, dado o volume do cone igual a
é:
(A) 8 R .
(B)
.
(C) 8 R ou
.
(D)
e
.
(E)
.
(A) 8 R .
(B)
(C) 8 R ou
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tomei estes dados diretamente do enunciado):
- Raio da esfera inscrita:
. - O cone é de revolução e é circunscrito à esfera (isto é, a esfera é tangente à base do cone e à superfície lateral).
- Volume do cone:
.
O que o problema pede:
- Determinar a(s) altura(s) do cone
em função de . - O enunciado é de múltipla escolha; as alternativas envolvem valores numéricos múltiplos de
.
Variáveis que vou usar:
-
= altura do cone (desconhecida que queremos achar). -
= raio da base do cone (desconhecida auxiliar). -
= geratriz (lado inclinada) do cone, com .
Passo 2
Idéia geométrica e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando uma esfera está inscrita num cone de revolução, no corte meridiano (plano que contém o eixo) a situação vira um triângulo isósceles cujo incírculo tem raio . Para esse triângulo:
Quando uma esfera está inscrita num cone de revolução, no corte meridiano (plano que contém o eixo) a situação vira um triângulo isósceles cujo incírculo tem raio
- a base do triângulo tem comprimento
; - a altura do triângulo é
; - os lados iguais têm comprimento
.
A fórmula do raio do incírculo (inradius) de um triângulo é
Aqui a área do triângulo é
Área
. O semiperímetro é
Portanto, aplicando a fórmula:
Essa relação é a ligação geométrica entre
,
e
. Explico em palavras: o incírculo toca a base a uma distância
dela e toca os lados; a fórmula acima vem diretamente da definição de inradius como área dividida por semiperímetro.
Passo 3
Outra fórmula que temos é a do volume do cone. O volume do cone é
O enunciado dá
. Igualando:
Cancelando
e multiplicando por 3:
Vou anotar isto como relação útil:
Passo 4
Volto à relação do Passo 2:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Logo
Passo 5
Agora uso
. Igualando à expressão anterior e elevando ao quadrado:
Multiplico ambos os lados por
:
Desenvolvendo e simplificando (observe que
aparece dos dois lados e se cancela):
Levo todos os termos para um lado e fatoro:
Como
, posso dividir por
e obter:
Finalmente isolo
:
Esta expressão dá
em função de
e
.
Passo 6
Substituo na expressão do Passo 5:
Faço simplificação passo a passo: o numerador fica
. Coloco tudo sobre um denominador comum:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Multiplico ambos os lados por
:
Desenvolvo:
Multiplico tudo por
para eliminar frações:
Coloco em forma de equação quadrática em
:
Multiplico por
e divido por
(já que
):
Passo 7
Resolvendo a quadrática
uso a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
A raiz quadrada do discriminante é
. Assim as raízes são
Portanto as duas soluções são
Passo 8
Verificação rápida de validade (para garantir que as soluções correspondem a cones reais):
- Para
: pela relação do volume , logo . Isso é positivo e (pois ), então a fórmula usada anteriormente não teve divisão por zero e a configuração é possível. - Para
: pela mesma relação , logo . Também é válido e .
Conclusão: existem dois cones de revolução distintos, cada um com uma altura dada acima, que são circunscritos à mesma esfera de raio
e que têm volume
.
Resposta
(C)
ou