Questão 43

A altura do cone de revolução circunscrito a uma esfera de raio R, dado o volume do cone igual a \frac{32 \pi R^{3}}{9} é:
(A) 8 R .
(B) 8 \mathrm{R} / 3.
(C) 8 R ou 8 \mathrm{R} / 3.
(D) 8 R e 8 R / 3.
(E) 4 R.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tomei estes dados diretamente do enunciado):
  • Raio da esfera inscrita: R.
  • O cone é de revolução e é circunscrito à esfera (isto é, a esfera é tangente à base do cone e à superfície lateral).
  • Volume do cone: \dfrac{32\pi R^{3}}{9}.
O que o problema pede:
  • Determinar a(s) altura(s) do cone h em função de R.
  • O enunciado é de múltipla escolha; as alternativas envolvem valores numéricos múltiplos de R.
Variáveis que vou usar:
  • h = altura do cone (desconhecida que queremos achar).
  • r = raio da base do cone (desconhecida auxiliar).
  • l = geratriz (lado inclinada) do cone, com l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.

Passo 2

Idéia geométrica e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando uma esfera está inscrita num cone de revolução, no corte meridiano (plano que contém o eixo) a situação vira um triângulo isósceles cujo incírculo tem raio R. Para esse triângulo:
  • a base do triângulo tem comprimento 2r;
  • a altura do triângulo é h;
  • os lados iguais têm comprimento l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.
A fórmula do raio do incírculo (inradius) de um triângulo é
R=\frac{\text{área do triângulo}}{\text{semiperímetro}}.áâí
Aqui a área do triângulo é Área )= \dfrac{(2r)\cdot h}{2}=rh. O semiperímetro é
s=\frac{2r+2l}{2}=r+l.
Portanto, aplicando a fórmula:
R=\frac{rh}{r+l}.
Essa relação é a ligação geométrica entre R, r e h. Explico em palavras: o incírculo toca a base a uma distância R dela e toca os lados; a fórmula acima vem diretamente da definição de inradius como área dividida por semiperímetro.

Passo 3

Outra fórmula que temos é a do volume do cone. O volume do cone é
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
O enunciado dá V_{\text{cone}}=\dfrac{32\pi R^{3}}{9}. Igualando:
\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{32\pi R^{3}}{9}.
Cancelando \pi e multiplicando por 3:
r^{2}h=\frac{96}{9}R^{3}=\frac{32}{3}R^{3}.
Vou anotar isto como relação útil:
\label{relV} r^{2}h=\frac{32}{3}R^{3}.

Passo 4

Volto à relação do Passo 2:
R=\frac{rh}{r+l}.
Multiplicando ambos os lados por r+l:
R(r+l)=rh.
Isolando l:
Rl = rh - Rr = r(h-R).
Logo
l=\frac{r(h-R)}{R}.

Passo 5

Agora uso l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}. Igualando à expressão anterior e elevando ao quadrado:
\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\frac{r(h-R)}{R} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}+h^{2}=\frac{r^{2}(h-R)^{2}}{R^{2}}.
Multiplico ambos os lados por R^{2}:
R^{2}r^{2}+R^{2}h^{2}=r^{2}(h-R)^{2}=r^{2}(h^{2}-2hR+R^{2}).
Desenvolvendo e simplificando (observe que r^{2}R^{2} aparece dos dois lados e se cancela):
R^{2}h^{2}=r^{2}h^{2}-2r^{2}hR.
Levo todos os termos para um lado e fatoro:
0=h^{2}(r^{2}-R^{2})-2r^{2}hR.
Como h>0, posso dividir por h e obter:
h(r^{2}-R^{2})=2r^{2}R.
Finalmente isolo h:
\boxed{\,h=\frac{2r^{2}R}{r^{2}-R^{2}}\,}.
Esta expressão dá h em função de r e R.

Passo 6

Agora substituo r^{2} em termos de h usando a relação do volume ([relV]). Da relação do Passo 3:
r^{2}=\frac{\tfrac{32}{3}R^{3}}{h}=\frac{32}{3}\frac{R^{3}}{h}.
Substituo na expressão do Passo 5:
h=\frac{2\left(\dfrac{32}{3}\dfrac{R^{3}}{h}\right)R}{\left(\dfrac{32}{3}\dfrac{R^{3}}{h}\right)-R^{2}}.
Faço simplificação passo a passo: o numerador fica \dfrac{64}{3}\dfrac{R^{4}}{h}. Coloco tudo sobre um denominador comum:
h=\frac{\dfrac{64}{3}\dfrac{R^{4}}{h}}{\dfrac{32}{3}\dfrac{R^{3}-\dfrac{3}{32}hR^{2}}{h}} \quad\text{(mas é mais claro multiplicar numerador e denominador por }h\text{)}.é
Multiplicando numerador e denominador por h para simplificar:
h=\frac{\dfrac{64}{3}R^{4}}{\dfrac{32}{3}R^{3}-hR^{2}}.
Multiplico ambos os lados por \dfrac{32}{3}R^{3}-hR^{2}:
h\left(\frac{32}{3}R^{3}-hR^{2}\right)=\frac{64}{3}R^{4}.
Desenvolvo:
\frac{32}{3}R^{3}h - R^{2}h^{2} = \frac{64}{3}R^{4}.
Multiplico tudo por 3 para eliminar frações:
32R^{3}h - 3R^{2}h^{2} = 64R^{4}.
Coloco em forma de equação quadrática em h:
-3R^{2}h^{2} + 32R^{3}h - 64R^{4}=0.
Multiplico por -1 e divido por R^{2} (já que R>0):
3h^{2} - 32Rh + 64R^{2}=0.

Passo 7

Resolvendo a quadrática
3h^{2}-32Rh+64R^{2}=0
uso a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta=( -32R)^{2}-4\cdot3\cdot64R^{2}=1024R^{2}-768R^{2}=256R^{2}.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=16R. Assim as raízes são
h=\frac{32R\pm 16R}{2\cdot3}=\frac{32R\pm16R}{6}.
Portanto as duas soluções são
h_{1}=\frac{48R}{6}=8R, \qquad h_{2}=\frac{16R}{6}=\frac{8R}{3}.

Passo 8

Verificação rápida de validade (para garantir que as soluções correspondem a cones reais):
  • Para h=8R: pela relação do volume r^{2}=\dfrac{32}{3}\dfrac{R^{3}}{h}=\dfrac{32}{3}\dfrac{R^{3}}{8R}=\dfrac{4}{3}R^{2}, logo r=\dfrac{2}{\sqrt{3}}R. Isso é positivo e r^{2}>R^{2} (pois \tfrac{4}{3}R^{2}>R^{2}), então a fórmula usada anteriormente não teve divisão por zero e a configuração é possível.
  • Para h=\dfrac{8R}{3}: pela mesma relação r^{2}=\dfrac{32}{3}\dfrac{R^{3}}{(8R/3)}=4R^{2}, logo r=2R. Também é válido e r^{2}>R^{2}.
Conclusão: existem dois cones de revolução distintos, cada um com uma altura dada acima, que são circunscritos à mesma esfera de raio R e que têm volume \dfrac{32\pi R^{3}}{9}.

Resposta

(C) 8R ou \dfrac{8R}{3}

Exercícios relacionados