\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty
Então, use sua definição para demonstrar que
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+x^{3}\right)=-\infty
(a) Demonstre que
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(1 / t)
(b) e
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{t \rightarrow 0^{-}} f(1 / t)

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas, vou listar exatamente o que é para demonstrar e as informações dadas:
  • Informação dada: \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty. (Isto é só um lembrete genérico do formato de limite; não é uma hipótese que usaremos para a primeira parte.)
  • Pedido 1: Usar a definição de limite para demonstrar que \lim_{x\to-\infty}\left(1+x^{3}\right)=-\infty.
  • Pedido 2 (item (a)): Demonstrar que \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t).
  • Pedido 3 (item (b)): Demonstrar que \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{-}} f(1/t).
Observações úteis (que vou usar na prova):
  • Vou usar a definição formal de limite quando a imagem tende a -\infty: dizer \lim_{x\to -\infty}g(x)=-\infty significa que para todo M\in\mathbb{R} existe X\in\mathbb{R} tal que, se x<X então g(x)<M.
  • Para limites finitos na forma \lim_{x\to\infty}f(x)=L uso a definição \forall \varepsilon>0\;\exists N tal que x>N\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Para limites que valem +\infty (ou -\infty) uso a definição com desigualdades: por exemplo \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty significa \forall M>0\;\exists N tal que x>N\Rightarrow f(x)>M.
  • A transformação t=1/x manda x\to\infty em t\to 0^{+} e manda x\to -\infty em t\to 0^{-}. Vou formalizar isso nas provas.

Passo 2

Demonstração de \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+x^{3}\right)=-\infty usando a definição.
Definição que uso: \displaystyle \lim_{x\to -\infty}g(x)=-\infty significa que para todo M\in\mathbb{R} existe X\in\mathbb{R} tal que, sempre que x<X, temos g(x)<M.
Agora aplico a essa função g(x)=1+x^3.
Seja M\in\mathbb{R} arbitrário. Quero encontrar um X tal que
x<X \quad\Longrightarrow\quad 1+x^{3}<M.
Isto é equivalente a
x^{3}<M-1.
A função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente em toda a reta real, logo posso aplicar a raiz cúbica em ambos os lados da desigualdade sem inverter o sinal. Obtenho
x < \sqrt[3]{\,M-1\,}.
Portanto, se escolher
X=\sqrt[3]{\,M-1\,},
então para todo x<X vale 1+x^{3}<M. Como M foi arbitrário, isto mostra exatamente que
\lim_{x\to -\infty}\left(1+x^{3}\right)=-\infty.
Comentário ameno: a ideia prática é que, dado qualquer nível baixo M, basta ir suficientemente para a esquerda (tomar x menor que a raiz cúbica de M-1) para que 1+x^3 fique abaixo de M. Pronto — feito!

Passo 3

Prova da parte (a): relação entre \lim_{x\to\infty} f(x) e \lim_{t\to 0^{+}} f(1/t). Vou provar a equivalência em duas direções; faço primeiro o caso de limite finito, depois trato o caso de limite infinito (os argumentos são análogos, só mudam as definições usadas).
Primeiro caso — limite finito L\in\mathbb{R}.
Direção 1 (se \lim_{x\to\infty}f(x)=L então \lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=L):
  • Hipótese: \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L. Pela definição: para todo \varepsilon>0 existe N>0 tal que x>N \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Faça a substituição x=1/t. Note que x>N é equivalente a 0<t<1/N (porque t>0 aqui). Logo, se eu definir \delta=1/N, então sempre que 0<t<\delta teremos x=1/t > N e assim |f(1/t)-L|<\varepsilon.
  • Conclusão: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (escolhida como 1/N) tal que 0<t<\delta\Rightarrow |f(1/t)-L|<\varepsilon. Isto é exatamente \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=L.
Direção 2 (se \lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=L então \lim_{x\to\infty} f(x)=L):
  • Hipótese: \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=L. Pela definição: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<t<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(1/t)-L|<\varepsilon.
  • Ponha x=1/t. A condição 0<t<\delta é equivalente a x>1/\delta. Então, escolhendo N=1/\delta, obtemos x>N\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L.
Assim a equivalência fica provada no caso de limite finito.

Passo 4

Ainda na parte (a): tratar o caso em que o limite é infinito (por exemplo \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty ou -\infty). Vou fazer para \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty; o caso -\infty é totalmente análogo (troca os sinais das desigualdades).
Direção 1 (se \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty então \lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=+\infty):
  • Hipótese: \forall M>0\;\exists N tal que x>N\Rightarrow f(x)>M.
  • Substituindo x=1/t com t>0, a condição x>N equivale a 0<t<1/N.
  • Logo, para dado M>0, existe N com a propriedade acima, e então tomando \delta=1/N obtemos 0<t<\delta \Rightarrow f(1/t)>M.
  • Isto é precisamente \lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)=+\infty.
Direção 2 (recíproca) é feita igual: a definição em t \forall M>0\;\exists \delta>0 tal que 0<t<\delta\Rightarrow f(1/t)>M; tomando N=1/\delta obtemos que x>N\Rightarrow f(x)>M, ou seja \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty.
Portanto, para limites finitos ou infinitos, a transformação t=1/x transporta a propriedade limite em x\to\infty para t\to 0^{+} e vice-versa. Isso encerra a demonstração da parte (a).

Passo 5

Prova da parte (b): relação entre \lim_{x\to -\infty} f(x) e \lim_{t\to 0^{-}} f(1/t).
A argumentação é essencialmente a mesma que fiz na parte (a), só que agora a transformação leva x\to -\infty em t=1/x\to 0^{-}. Vou estruturar novamente para os dois tipos de limites (finito e infinito).
Caso limite finito L\in\mathbb{R}.
Direção 1 (se \lim_{x\to -\infty} f(x)=L então \lim_{t\to 0^{-}} f(1/t)=L):
  • Hipótese: \forall \varepsilon>0\;\exists X tal que x<X\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Substitua x=1/t. Para t<0, a condição x<X equivale a 1/t<X, isto é t>1/X. Mas como X será negativo (ou não importa; farei a forma direta mais clara): é melhor reescrever: x<X com x negativo grande em módulo corresponde a t=1/x satisfazendo 0>t>1/X. Mais prático: dado X fixo, defina \delta=\min\{-1,\,1/X\} ou simplesmente tome \delta tal que 1/\delta<X com \delta<0. Para não complicar, use o argumento padrão:
  • Observação direta: a correspondência é bijetiva entre (-\infty,X) e (0,1/X) se X<0; então, escolhendo X suficientemente negativo, obtem-se um intervalo (0,1/X) com 1/X<0, isto é um intervalo de t contido em (-\infty,0).
  • Em termos simples e formais: se x<X então t=1/x>1/X. Como X é negativo, 1/X é negativo, então existe \delta<0 tal que 1/X<\delta<0. Portanto para 1/X<t<0 (isto é t próximo de 0 pela esquerda) temos x=1/t < X e assim |f(1/t)-L|<\varepsilon.
  • Conclusão: existe \delta<0 tal que 1/X<t<0\Rightarrow |f(1/t)-L|<\varepsilon, que é exatamente \lim_{t\to 0^{-}} f(1/t)=L.
Direção 2 (recíproca) ocorre de modo análogo: da definição em t perto de 0^{-} obtém-se uma condição do tipo 1/\delta < x ou x<X com X negativo, mostrando \lim_{x\to -\infty} f(x)=L.
Caso limite infinito (por exemplo \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty):
  • A definição de \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty é: para todo M\in\mathbb{R} existe X tal que x<X\Rightarrow f(x)<M.
  • Substituindo x=1/t com t<0, a condição x<X transforma-se numa condição do tipo 1/t < X que equivale a t>1/X. Como X pode ser escolhido negativo e arbitrário, encontramos um intervalo de t na vizinhança de 0 pela esquerda que garante f(1/t)<M.
  • Assim as duas definições são equivalentes e obtemos \lim_{t\to 0^{-}} f(1/t)=-\infty se e somente se \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty.
Resumo do raciocínio prático: a transformação t=1/x troca a cauda esquerda x\to -\infty pela aproximação t\to 0^{-}; todas as quantificações (\forall \varepsilon>0\;;\exists\;) ou (\forall M\;;\exists\;) se transportam trocando N por 1/\delta ou vice-versa, portanto as definições de limite são equivalentes.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+x^{3}\right)=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{+}} f(1/t)
\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{t\to 0^{-}} f(1/t)

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