Então, use sua definição para demonstrar que
(a) Demonstre que
(b) e
Passo 1
O enunciado pede três coisas distintas, vou listar exatamente o que é para demonstrar e as informações dadas:
- Informação dada:
. (Isto é só um lembrete genérico do formato de limite; não é uma hipótese que usaremos para a primeira parte.) - Pedido 1: Usar a definição de limite para demonstrar que
- Pedido 2 (item (a)): Demonstrar que
- Pedido 3 (item (b)): Demonstrar que
Observações úteis (que vou usar na prova):
- Vou usar a definição formal de limite quando a imagem tende a
: dizer significa que para todo existe tal que, se então . - Para limites finitos na forma
uso a definição tal que . - Para limites que valem
(ou ) uso a definição com desigualdades: por exemplo significa tal que . - A transformação
manda em e manda em . Vou formalizar isso nas provas.
Passo 2
Demonstração de
usando a definição.
Definição que uso:
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
.
Agora aplico a essa função
.
Seja
arbitrário. Quero encontrar um
tal que
Isto é equivalente a
A função
é estritamente crescente em toda a reta real, logo posso aplicar a raiz cúbica em ambos os lados da desigualdade sem inverter o sinal. Obtenho
Portanto, se escolher
então para todo
vale
. Como
foi arbitrário, isto mostra exatamente que
Comentário ameno: a ideia prática é que, dado qualquer nível baixo
, basta ir suficientemente para a esquerda (tomar
menor que a raiz cúbica de
) para que
fique abaixo de
. Pronto — feito!
Passo 3
Prova da parte (a): relação entre
e
. Vou provar a equivalência em duas direções; faço primeiro o caso de limite finito, depois trato o caso de limite infinito (os argumentos são análogos, só mudam as definições usadas).
Primeiro caso — limite finito
.
Direção 1 (se
então
):
- Hipótese:
. Pela definição: para todo existe tal que - Faça a substituição
. Note que é equivalente a (porque aqui). Logo, se eu definir , então sempre que teremos e assim . - Conclusão: para todo
existe (escolhida como ) tal que . Isto é exatamente .
Direção 2 (se
então
):
- Hipótese:
. Pela definição: para todo existe tal que - Ponha
. A condição é equivalente a . Então, escolhendo , obtemos . - Conclusão:
.
Assim a equivalência fica provada no caso de limite finito.
Passo 4
Ainda na parte (a): tratar o caso em que o limite é infinito (por exemplo
ou
). Vou fazer para
; o caso
é totalmente análogo (troca os sinais das desigualdades).
Direção 1 (se
então
):
- Hipótese:
tal que . - Substituindo
com , a condição equivale a . - Logo, para dado
, existe com a propriedade acima, e então tomando obtemos . - Isto é precisamente
.
Direção 2 (recíproca) é feita igual: a definição em
dá
tal que
; tomando
obtemos que
, ou seja
.
Portanto, para limites finitos ou infinitos, a transformação
transporta a propriedade limite em
para
e vice-versa. Isso encerra a demonstração da parte (a).
Passo 5
Prova da parte (b): relação entre
e
.
A argumentação é essencialmente a mesma que fiz na parte (a), só que agora a transformação leva
em
. Vou estruturar novamente para os dois tipos de limites (finito e infinito).
Caso limite finito
.
Direção 1 (se
então
):
- Hipótese:
tal que . - Substitua
. Para , a condição equivale a , isto é . Mas como será negativo (ou não importa; farei a forma direta mais clara): é melhor reescrever: com negativo grande em módulo corresponde a satisfazendo . Mais prático: dado fixo, defina ou simplesmente tome tal que com . Para não complicar, use o argumento padrão: - Observação direta: a correspondência é bijetiva entre
e se ; então, escolhendo suficientemente negativo, obtem-se um intervalo com , isto é um intervalo de contido em . - Em termos simples e formais: se
então . Como é negativo, é negativo, então existe tal que . Portanto para (isto é próximo de pela esquerda) temos e assim . - Conclusão: existe
tal que , que é exatamente .
Direção 2 (recíproca) ocorre de modo análogo: da definição em
perto de
obtém-se uma condição do tipo
ou
com
negativo, mostrando
.
Caso limite infinito (por exemplo
):
- A definição de
é: para todo existe tal que . - Substituindo
com , a condição transforma-se numa condição do tipo que equivale a . Como pode ser escolhido negativo e arbitrário, encontramos um intervalo de na vizinhança de pela esquerda que garante . - Assim as duas definições são equivalentes e obtemos
se e somente se .
Resumo do raciocínio prático: a transformação
troca a cauda esquerda
pela aproximação
; todas as quantificações
ou
se transportam trocando
por
ou vice-versa, portanto as definições de limite são equivalentes.