PROJETO ESCRITO MÉTODOS INICIAIS PARA ENCONTRAR TANGENTES

A primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi Sir Isaac Newton, em 1660. Mas Newton reconhecia que “Se vejo mais longe do que outros homens, é porque estou sobre os ombros de gigantes”. Dois desses gigantes eram Pierre Fermat (1601-1665) e o mentor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677). Newton estava familiarizado com os métodos deles para encontrar as retas tangentes, e esses métodos desempenharam papel importante na formulação final do cálculo de Newton.
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva y=x^{3}+2 x no ponto (1,3) e mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos.
  1. Boyer C.; Merzbach U. A History of Mathematics. Nova York: Wiley, 1989, p. 389, 432.
  2. Edwards C. H. The Historical Development of the Calculus. Nova York: Springer-Verlag, 1979, p. 124, 132.
  3. Eves H. An Introduction to the History of Mathematics, 6. ed. Nova York: Saunders, 1990, p. 391, 395.
  4. Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Nova York: Oxford University Press, 1972, p. 344, 346.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a equação da reta tangente à curva y=x^{3}+2x no ponto (1,3) usando (1) o método da Seção 2.7 (ou seja, o método moderno com derivada / limite) e (2) mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema, destacando a analogia entre os métodos.
Informações dadas e pedidos, listados claramente:
  • Curva: y = x^{3} + 2x.
  • Ponto onde se quer a tangente: \bigl(1,3\bigr). (Note que 3 = 1^{3}+2\cdot1, confirmação de que o ponto pertence à curva.)
  • Objetivo A: encontrar a equação da reta tangente usando o método moderno (Seção 2.7 — derivada / limite).
  • Objetivo B: apresentar o (método de) Fermat ou Barrow para o mesmo problema e mostrar a analogia com o método moderno.
    Nada mais é exigido; vou então resolver passo a passo, ensinando a teoria necessária ao longo do caminho.

Passo 2

Entendendo o que significa “reta tangente” e a ideia da derivada (a aula básica).
  • Intuição: a reta tangente em x=a é a melhor aproximação linear da curva perto de x=a. Geometricamente, a tangente tem a mesma inclinação (mesma “inclinação instantânea”) que a curva naquele ponto.
  • Definição moderna (intuitiva): a inclinação da tangente em x=a é o limite da inclinação das secantes que ligam (a,f(a)) a (a+h,f(a+h)) quando h\to0. Ou seja, a derivada f'(a) é o limite da diferença-quoteiente.
  • Fórmula do quociente de diferença (definição de derivada por limites):
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui h é o pequeno incremento em x. Explico: \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a inclinação da secante entre os pontos separados por h. Quando h tende a zero estamos fazendo a secante virar tangente.
Vou aplicar isso com f(x)=x^{3}+2x e a=1.

Passo 3

Cálculo passo a passo da derivada por definição (sem usar regra pronta ainda).
Calcule o quociente de diferença com a=1:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{\bigl(1+h\bigr)^{3}+2\bigl(1+h\bigr)-\bigl(1^{3}+2\cdot1\bigr)}{h}.
Agora expando \bigl(1+h\bigr)^{3} usando o binômio de Newton e desenvolvendo termos:
\bigl(1+h\bigr)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}.
Substituo na expressão e simplifico passo a passo:
f(1+h)=1+3h+3h^{2}+h^{3}+2+2h = 3 + 5h + 3h^{2} + h^{3}.
Lembro que f(1)=1^{3}+2\cdot1=3. Então
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{\bigl(3+5h+3h^{2}+h^{3}\bigr)-3}{h} = \frac{5h+3h^{2}+h^{3}}{h}.
Agora fatoro h no numerador e simplifico (aqui é crucial: h\neq0 enquanto simplifico; o limite depois trata h\to0):
\frac{5h+3h^{2}+h^{3}}{h} = 5 + 3h + h^{2}.
Finalmente tomo o limite quando h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}\bigl(5+3h+h^{2}\bigr)=5.
Explicação didática do porquê os termos com h desaparecem: quando h fica muito pequeno, 3h e h^{2} ficam cada vez menores; o limite dos termos que são múltiplos de h é zero. Então sobra apenas 5, que é a inclinação instantânea da curva em x=1.

Passo 4

Atalho prático: regra de derivação (para a prova, use isto para ganhar tempo, mas saiba derivar por definição).
  • Relembrando a regra: a derivada de x^{n} é n x^{n-1} (regra do poder). A derivada de c x é c. Assim, para f(x)=x^{3}+2x,
f'(x)=3x^{2}+2.
Substituindo x=1,
f'(1)=3\cdot1^{2}+2=3+2=5.
É o mesmo resultado que obtivemos por definição, só mais rápido. Para a prova, decorando as regras de derivação evita trabalho algébrico longo.

Passo 5

Encontrando a equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação).
A reta tangente em x=1 tem inclinação m=f'(1)=5 e passa por \bigl(1,3\bigr). Uso a forma ponto-inclinação da reta:
y - y_{0} = m\bigl(x - x_{0}\bigr).
Aqui x_{0}=1 e y_{0}=3, logo
y-3 = 5\bigl(x-1\bigr).
Desenvolvendo para a forma mais usual:
y-3 = 5x-5 \quad\Rightarrow\quad y = 5x -2.
Portanto, pela matemática moderna, a reta tangente é y=5x-2.

Passo 6

Explicando o método de Fermat (adequality) e aplicando-o passo a passo — a versão algébrica sem limites explícitos.
Breve introdução histórica e a ideia: Fermat trabalhava com um pequeno incremento e (ele chamava de e ou \varepsilon) e usava uma noção chamada “adição” ou “adéqual” (adequality) — a ideia é comparar f(x+e) e f(x), simplificar cancelando fatores e e depois desprezar termos que envolvem e (como se os termos com e fossem “infinitesimais” de ordem maior). Isso é o precursor algébrico do limite: em vez de tomar explicitamente o limite, ele cancela e anula as partes que têm e quando e é considerado muito pequeno. Para tangente ele procedia assim:
Aplicação ao nosso caso x=1. Coloco e como pequeno incremento:
\frac{f(1+e)-f(1)}{e} = \frac{\bigl(1+e\bigr)^{3}+2\bigl(1+e\bigr)-3}{e}.
Como já fiz antes, expando e simplifico:
\frac{5e+3e^{2}+e^{3}}{e} = 5 + 3e + e^{2}.
Agora vem a ideia de Fermat: “adequal” (ou seja, considerar a quantidade que se aproxima do valor exato quando e é pequeno) significa desprezar os termos que contêm e, porque esses termos são de ordem superior e tornam-se insignificantes quando e é muito pequeno. Assim Fermat toma
5 + 3e + e^{2} \quad \text{adequal a} \quad 5.
Portanto a inclinação é 5. Conclui-se a mesma reta y=5x-2.
Comentário didático: Fermat não escrevia “limite” como fazemos hoje, mas o procedimento algébrico (fatorar e, cancelar, e anular os termos com e) é exatamente o mesmo passo algébrico que fazemos quando simplificamos o quociente antes de tomar h\to0. Assim a adequality é o antepassado do procedimento de fazer a simplificação algébrica e depois tomar o limite.

Passo 7

Explicando o método de Barrow (geometria de similaridade de triângulos) e sua analogia com o limite.
Barrow (mentor geométrico de Newton) usava argumentos geométricos: considerava o pequeno arco da curva entre x e x+h e os triângulos formados pela secante e pelos eixos. A ideia é a semelhança de triângulos entre o triângulo formado pela secante (base h, altura \Delta y=f(x+h)-f(x)) e o triângulo associado à tangente quando o incremento fica infinitesimal; à medida que h encolhe, a secante aproxima-se da tangente, e o quociente \dfrac{\Delta y}{h} aproxima a inclinação da tangente. Em notação algébrica isto é exatamente o quociente de diferença:
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Barrow argumentava geometricamente que, pela semelhança, a razão vertical/horizontal das pequenas semirretas tende para um valor limite (ele raciocinava em termos de áreas e semelhanças, sem os símbolos de limite modernos). Aplicando numericamente ao nosso caso com x=1, obtemos a mesma expressão final que já simplificamos:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = 5 + 3h + h^{2},
e, tomando h\to0 (na linguagem moderna) ou reconhecendo que os termos que envolvem h tornam-se negligíveis (na linguagem geométrica de Barrow), a razão tende a 5. Portanto a tangente tem inclinação 5 e novamente a reta é y=5x-2.
Resumo da analogia com Barrow: Barrow usava triângulos e semelhanças para justificar que a razão \Delta y/\Delta x converge para um valor; o método moderno expressa essa convergência por um limite. Ambos capturam a mesma ideia geométrica: secantes viram tangente quando o segmento horizontal encolhe.

Passo 8

Comparação explícita entre os três pontos de vista (moderno, Fermat, Barrow) — linguagens diferentes, mesma operação essencial.
  • Moderno: calcula-se \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. Técnica explícita do limite; procedimentos algébricos para simplificar o quociente antes de tomar o limite. Rápido com regras de derivação memorizadas. Ideal para provas e conta rápida.
  • Fermat: introduz um pequeno e, faz as manipulações algébricas, cancela o fator e e “despreza” termos com e. Não escreve o operador limite, mas o passo de desprezar termos com e é funcionalmente equivalente a tomar o limite quando e\to0.
  • Barrow: usa argumentos geométricos e semelhança para afirmar que a razão \Delta y/\Delta x para secantes tende a um valor; na prática, o que ele faz geometricamente é a mesma operação que escrever o limite.
    Em todos os casos a ação central é: formar a razão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, simplificar (cancelar h) e observar o comportamento quando h é muito pequeno. A diferença é apenas a linguagem (álgebra formal com limite, álgebra com adequality, ou geometria de semelhanças).

Passo 9

Exemplo curto extra (para fixar): tangente a y=x^{2} em x=1.
  • Por definição:
\frac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}=\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}=2+h \xrightarrow{h\to0} 2.
  • Por Fermat: mesma simplificação, despreza h e fica 2.
  • Regra rápida: f'(x)=2x, então f'(1)=2.
    Isso mostra como o padrão se repete e por que as regras de derivação são tão úteis (reduzem trabalho repetitivo).

Passo 10

Dicas finais para a prova (curtas e práticas, com empatia):
  • Se tiver tempo limitado, use as regras de derivação (regra do poder, soma, constantes) para achar f'(a) rapidamente.
  • Se a questão pedir justificativa ou se a prova exigir derivada por definição, faça a simplificação algébrica do quociente de diferença exatamente como no Passo 3 (expandir, fatorar h, cancelar, tomar limite).
  • Se encontrar uma prova histórica ou quiser mostrar entendimento conceitual, diga que Fermat cancelava e e desprezava termos de ordem superior (adequality) e que Barrow usava semelhança de triângulos; mencione que tudo isso corresponde à operação moderna de “simplificar e passar ao limite”.
  • Força aí — essa mecânica é repetitiva: prática com alguns polinômios te deixa muito rápido.

Resposta

y=5x-2

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