PROJETO ESCRITO MÉTODOS INICIAIS PARA ENCONTRAR TANGENTES
A primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi Sir Isaac Newton, em 1660. Mas Newton reconhecia que “Se vejo mais longe do que outros homens, é porque estou sobre os ombros de gigantes”. Dois desses gigantes eram Pierre Fermat (1601-1665) e o mentor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677). Newton estava familiarizado com os métodos deles para encontrar as retas tangentes, e esses métodos desempenharam papel importante na formulação final do cálculo de Newton.
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto
e mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos.
- Boyer C.; Merzbach U. A History of Mathematics. Nova York: Wiley, 1989, p. 389, 432.
- Edwards C. H. The Historical Development of the Calculus. Nova York: Springer-Verlag, 1979, p. 124, 132.
- Eves H. An Introduction to the History of Mathematics, 6. ed. Nova York: Saunders, 1990, p. 391, 395.
- Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Nova York: Oxford University Press, 1972, p. 344, 346.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
usando (1) o método da Seção 2.7 (ou seja, o método moderno com derivada / limite) e (2) mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema, destacando a analogia entre os métodos.
Informações dadas e pedidos, listados claramente:
Informações dadas e pedidos, listados claramente:
- Curva:
. - Ponto onde se quer a tangente:
. (Note que , confirmação de que o ponto pertence à curva.) - Objetivo A: encontrar a equação da reta tangente usando o método moderno (Seção 2.7 — derivada / limite).
- Objetivo B: apresentar o (método de) Fermat ou Barrow para o mesmo problema e mostrar a analogia com o método moderno.
Nada mais é exigido; vou então resolver passo a passo, ensinando a teoria necessária ao longo do caminho.
Passo 2
Entendendo o que significa “reta tangente” e a ideia da derivada (a aula básica).
- Intuição: a reta tangente em
é a melhor aproximação linear da curva perto de . Geometricamente, a tangente tem a mesma inclinação (mesma “inclinação instantânea”) que a curva naquele ponto. - Definição moderna (intuitiva): a inclinação da tangente em
é o limite da inclinação das secantes que ligam a quando . Ou seja, a derivada é o limite da diferença-quoteiente. - Fórmula do quociente de diferença (definição de derivada por limites):
Aqui
é o pequeno incremento em
. Explico:
é a inclinação da secante entre os pontos separados por
. Quando
tende a zero estamos fazendo a secante virar tangente.
Vou aplicar isso com
e
.
Passo 3
Cálculo passo a passo da derivada por definição (sem usar regra pronta ainda).
Calcule o quociente de diferença com :
Calcule o quociente de diferença com
Agora expando
usando o binômio de Newton e desenvolvendo termos:
Substituo na expressão e simplifico passo a passo:
Lembro que
. Então
Agora fatoro
no numerador e simplifico (aqui é crucial:
enquanto simplifico; o limite depois trata
):
Finalmente tomo o limite quando
:
Explicação didática do porquê os termos com
desaparecem: quando
fica muito pequeno,
e
ficam cada vez menores; o limite dos termos que são múltiplos de
é zero. Então sobra apenas
, que é a inclinação instantânea da curva em
.
Passo 4
Atalho prático: regra de derivação (para a prova, use isto para ganhar tempo, mas saiba derivar por definição).
- Relembrando a regra: a derivada de
é (regra do poder). A derivada de é . Assim, para ,
Substituindo
,
É o mesmo resultado que obtivemos por definição, só mais rápido. Para a prova, decorando as regras de derivação evita trabalho algébrico longo.
Passo 5
Encontrando a equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação).
A reta tangente em tem inclinação
e passa por
. Uso a forma ponto-inclinação da reta:
A reta tangente em
Aqui
e
, logo
Desenvolvendo para a forma mais usual:
Portanto, pela matemática moderna, a reta tangente é
.
Passo 6
Explicando o método de Fermat (adequality) e aplicando-o passo a passo — a versão algébrica sem limites explícitos.
Breve introdução histórica e a ideia: Fermat trabalhava com um pequeno incremento (ele chamava de
ou
) e usava uma noção chamada “adição” ou “adéqual” (adequality) — a ideia é comparar
e
, simplificar cancelando fatores
e depois desprezar termos que envolvem
(como se os termos com
fossem “infinitesimais” de ordem maior). Isso é o precursor algébrico do limite: em vez de tomar explicitamente o limite, ele cancela e anula as partes que têm
quando
é considerado muito pequeno. Para tangente ele procedia assim:
Breve introdução histórica e a ideia: Fermat trabalhava com um pequeno incremento
Aplicação ao nosso caso
. Coloco
como pequeno incremento:
Como já fiz antes, expando e simplifico:
Agora vem a ideia de Fermat: “adequal” (ou seja, considerar a quantidade que se aproxima do valor exato quando
é pequeno) significa desprezar os termos que contêm
, porque esses termos são de ordem superior e tornam-se insignificantes quando
é muito pequeno. Assim Fermat toma
Portanto a inclinação é
. Conclui-se a mesma reta
.
Comentário didático: Fermat não escrevia “limite” como fazemos hoje, mas o procedimento algébrico (fatorar
, cancelar, e anular os termos com
) é exatamente o mesmo passo algébrico que fazemos quando simplificamos o quociente antes de tomar
. Assim a adequality é o antepassado do procedimento de fazer a simplificação algébrica e depois tomar o limite.
Passo 7
Explicando o método de Barrow (geometria de similaridade de triângulos) e sua analogia com o limite.
Barrow (mentor geométrico de Newton) usava argumentos geométricos: considerava o pequeno arco da curva entre e
e os triângulos formados pela secante e pelos eixos. A ideia é a semelhança de triângulos entre o triângulo formado pela secante (base
, altura
) e o triângulo associado à tangente quando o incremento fica infinitesimal; à medida que
encolhe, a secante aproxima-se da tangente, e o quociente
aproxima a inclinação da tangente. Em notação algébrica isto é exatamente o quociente de diferença:
Barrow (mentor geométrico de Newton) usava argumentos geométricos: considerava o pequeno arco da curva entre
Barrow argumentava geometricamente que, pela semelhança, a razão vertical/horizontal das pequenas semirretas tende para um valor limite (ele raciocinava em termos de áreas e semelhanças, sem os símbolos de limite modernos). Aplicando numericamente ao nosso caso com
, obtemos a mesma expressão final que já simplificamos:
e, tomando
(na linguagem moderna) ou reconhecendo que os termos que envolvem
tornam-se negligíveis (na linguagem geométrica de Barrow), a razão tende a
. Portanto a tangente tem inclinação
e novamente a reta é
.
Resumo da analogia com Barrow: Barrow usava triângulos e semelhanças para justificar que a razão
converge para um valor; o método moderno expressa essa convergência por um limite. Ambos capturam a mesma ideia geométrica: secantes viram tangente quando o segmento horizontal encolhe.
Passo 8
Comparação explícita entre os três pontos de vista (moderno, Fermat, Barrow) — linguagens diferentes, mesma operação essencial.
- Moderno: calcula-se
. Técnica explícita do limite; procedimentos algébricos para simplificar o quociente antes de tomar o limite. Rápido com regras de derivação memorizadas. Ideal para provas e conta rápida. - Fermat: introduz um pequeno
, faz as manipulações algébricas, cancela o fator e “despreza” termos com . Não escreve o operador limite, mas o passo de desprezar termos com é funcionalmente equivalente a tomar o limite quando . - Barrow: usa argumentos geométricos e semelhança para afirmar que a razão
para secantes tende a um valor; na prática, o que ele faz geometricamente é a mesma operação que escrever o limite.
Em todos os casos a ação central é: formar a razão, simplificar (cancelar ) e observar o comportamento quando é muito pequeno. A diferença é apenas a linguagem (álgebra formal com limite, álgebra com adequality, ou geometria de semelhanças).
Passo 9
Exemplo curto extra (para fixar): tangente a
em
.
- Por definição:
- Por Fermat: mesma simplificação, despreza
e fica . - Regra rápida:
, então .
Isso mostra como o padrão se repete e por que as regras de derivação são tão úteis (reduzem trabalho repetitivo).
Passo 10
Dicas finais para a prova (curtas e práticas, com empatia):
- Se tiver tempo limitado, use as regras de derivação (regra do poder, soma, constantes) para achar
rapidamente. - Se a questão pedir justificativa ou se a prova exigir derivada por definição, faça a simplificação algébrica do quociente de diferença exatamente como no Passo 3 (expandir, fatorar
, cancelar, tomar limite). - Se encontrar uma prova histórica ou quiser mostrar entendimento conceitual, diga que Fermat cancelava
e desprezava termos de ordem superior (adequality) e que Barrow usava semelhança de triângulos; mencione que tudo isso corresponde à operação moderna de “simplificar e passar ao limite”. - Força aí — essa mecânica é repetitiva: prática com alguns polinômios te deixa muito rápido.