Questão 48

Considerando que x \neq 1, determine o valor de k para que o resto da divisão de \mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{3}+\mathrm{kx}^{2}-\mathrm{x}+4 por (\mathrm{x}-1) seja 3.
(A) -2
(B) 1
(C) 2
(D) -1

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial P(x)=2x^{3}+kx^{2}-x+4 e informa que, ao dividir P(x) por (x-1), o resto é 3. Pede-se: determinar o valor de k. Informações relevantes listadas:
  • Polinômio: P(x)=2x^{3}+kx^{2}-x+4.
  • Divisor: (x-1).
  • Resto desejado: 3.
  • Condição extra: x\neq1 (presente no enunciado, mas não impede aplicar a propriedade de restos).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental sobre divisão de polinômios (expliquei com calma para você entender bem): quando dividimos um polinômio P(x) por um polinômio de primeiro grau (x-a), o resto é um número constante igual a P(a). Isso é conhecido como Teorema do Resto. Prova curta e intuitiva:
P(x)=(x-a)Q(x)+R,
onde Q(x) é o quociente (outro polinômio) e R é o resto (um número, constante) porque o divisor tem grau 1. Se avaliarmos essa igualdade em x=a, o termo (x-a)Q(x) zera, sobrando
P(a)=R.
Ou seja: resto ao dividir por (x-a) = P(a). Aqui, as variáveis significam: P é o polinômio inicial, a é o número que define o divisor (x-a), Q é o quociente e R é o resto (constante).

Passo 3

Aplicando o teorema ao nosso caso: o divisor é (x-1), então a=1 e o resto é P(1). Vamos calcular P(1) passo a passo:
P(1)=2(1)^{3}+k(1)^{2}-1+4.
Calcule cada termo:
2(1)^{3}=2,\qquad k(1)^{2}=k,\qquad -1=-1,\qquad +4=4.
Somando:
P(1)=2+k-1+4.

Passo 4

Simplificando a soma:
P(1)=k+5.
Pelo enunciado, esse valor deve ser o resto 3. Portanto montamos a equação:
k+5=3.

Passo 5

Resolvendo a equação para k: subtraímos 5 dos dois lados,
k=3-5,
logo
k=-2.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar): substituindo k=-2 em P(1),
P(1)=2+(-2)-1+4=3,
que é exatamente o resto pedido. Tudo conferido!

Resposta

(A) -2

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