Seja
um anel comutativo com identidade. Mostre que os seguintes subconjuntos são sistemas multiplicativos em
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um anel comutativo com identidade
e que
Para mostrar que
é um sistema multiplicativo em
, precisamos verificar dois pontos:
-
. - Se
então (fechamento sob multiplicação).
Passo 2
Mostrando que
.
Como contém
, podemos tomar
. Então
Como
pela definição de potência em anel. Assim
.
Passo 3
Mostrando o fechamento sob multiplicação.
Sejam . Então existem
tais que
Sejam
Como a multiplicação em
é comutativa e associativa, temos
Como
, segue que
. Logo
.
Resposta
Portanto,
contém a identidade
e é fechado sob produto, de modo que
é um sistema multiplicativo em
.