Seja A um anel comutativo com identidade. Mostre que os seguintes subconjuntos são sistemas multiplicativos em A.
S=\left\{a^{n}: n \in \mathbb{Z}_{+}\right\}

Passo 1

O enunciado diz que A é um anel comutativo com identidade 1 e que
S = \{a^n : n \in \mathbb{Z}_{+}\}.
Para mostrar que S é um sistema multiplicativo em A, precisamos verificar dois pontos:
  1. 1\in S.
  2. Se x,y\in S então x\,y\in S (fechamento sob multiplicação).

Passo 2

Mostrando que 1\in S.
Como \mathbb{Z}_{+} contém 0, podemos tomar n=0. Então
a^0 = 1
pela definição de potência em anel. Assim 1=a^0\in S.

Passo 3

Mostrando o fechamento sob multiplicação.
Sejam x,y\in S. Então existem n,m\in\mathbb{Z}_{+} tais que
x = a^n \quad\text{e}\quad y = a^m.
Como a multiplicação em A é comutativa e associativa, temos
x\,y = a^n \cdot a^m = a^{\,n+m}.
Como n+m\in\mathbb{Z}_{+}, segue que a^{n+m}\in S. Logo x\,y\in S.

Resposta

Portanto, S contém a identidade 1 e é fechado sob produto, de modo que S é um sistema multiplicativo em A.

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