QUESTÃO 49 - Considerando os valores de a, b e c, que tornam o polinômio p(x)=6 x^{5}+3 x^{4}-x^{3}+a x^{2}+b x+c divisível por q(x)=-2 x^{3}+x^{2}-2 x+1, é correto afirmar que:
A) a+b+c=-2
B) a+b+c=-1
C) a+b+c=0
D) a+b+c=1
E) a+b+c=2

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=6x^{5}+3x^{4}-x^{3}+ax^{2}+bx+c
e o divisor
q(x)=-2x^{3}+x^{2}-2x+1.
Como q(x) deve dividir p(x), existe um polinômio de grau 2, digamos
r(x)=dx^{2}+ex+f,
tal que
p(x)=q(x)\,r(x).

Passo 2

Vamos escrever o produto
q(x)\,r(x)=(-2x^{3}+x^{2}-2x+1)(dx^{2}+ex+f)
e agrupar pelos mesmos graus de x.

Passo 3

Ao multiplicar e juntar termos, obtemos
q(x)\,r(x) =(-2d)x^{5}+(-2e+d)x^{4}+(-2f+e-2d)x^{3}+(f-2e+d)x^{2}+(-2f+e)x+f.
Esse resultado deve coincidir com os coeficientes de p(x), gerando o sistema:
\begin{cases} -2d = 6,\\\\ -2e + d = 3,\\\\ -2f + e - 2d = -1,\\\ f - 2e + d = a,\\\\ -2f + e = b,\\\ f = c. \end{cases}

Passo 4

Das três primeiras equações resolvemos em ordem:
-2d=6\implies d=-3,
-2e+d=3\implies -2e-3=3\implies e=-3,
-2f+e-2d=-1\implies -2f-3+6=-1\implies -2f=-4\implies f=2.

Passo 5

Substituindo d,e,f nas definições de a,b,c:
a = f-2e+d = 2 -2(-3) -3 = 5,
b = -2f+e = -4 -3 = -7,
c = f = 2.
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a+b+c = 5 + (-7) + 2 = 0.

Resposta

a+b+c=0. Portanto, alternativa (C).

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