QUESTÃO 48 - A taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao seu raio r é igual ao(à):
A) Seu raio.
B) Seu diâmetro.
C) Área de sua superfície.
D) Metade da área de sua superfície.
E) Quarta parte da área de sua superfície.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao seu raio r. O conteúdo é derivação de funções: vamos precisar usar a regra do poder para derivar a função que dá o volume em termos de r.

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera em função de r:
V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3.
Para encontrar a taxa de variação do volume em relação a r, calculamos a derivada de V em relação a r:
\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\Bigl(\frac{4}{3}\pi r^3\Bigr) = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 = 4\pi r^2.

Passo 3

Reconhecemos que 4\pi r^2 é justamente a área da superfície de uma esfera de raio r. Logo,
\frac{dV}{dr} = \text{área da superfície}.áí

Resposta

C) Área de sua superfície.

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