Questão 49. Quantos são os anagramas da palavra CASULO:
Que tem a letra C em 1^{\circ} lugar ou a letra A no 2^{\circ} lugar?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra CASULO satisfazem a condição “a letra C está no 1^{\circ} lugar ou a letra A está no 2^{\circ} lugar”.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A palavra é “CASULO”, que tem 6 letras.
  • As letras são todas distintas: C,A,S,U,L,O.
  • A pergunta é sobre a união das duas condições: C em 1.º lugar OU A em 2.º lugar (ou ambos).

Passo 2

Conceito básico que vou usar (aula masticada): se temos n objetos distintos e queremos ordenar todos eles, o número de ordens possíveis é o fatorial de n, denotado por n!.
O fatorial é definido por:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplo simples para fixar: para 3 letras distintas A,B,C temos 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6 anagramas ( ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: como há 6 letras distintas, o total de anagramas sem restrição é
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.
Isso é só para dar escala — o que queremos é contar os que satisfazem a condição dada.

Passo 4

Contar os anagramas com a letra C no 1^{\circ} lugar.
Se fixamos C na posição 1, restam 5 letras distintas para permutar nas demais 5 posições. Logo o número de anagramas com C em 1.º é
N(C_1)=5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Explicação intuitiva: escolheu-se a primeira letra (já fixa), e as outras 5 podem aparecer em qualquer ordem.

Passo 5

Contar os anagramas com a letra A no 2^{\circ} lugar.
Analogamente, se fixamos A na posição 2, restam 5 letras para permutar nas outras posições, logo
N(A_2)=5! = 120.

Passo 6

Agora é preciso evitar dupla contagem: alguns anagramas têm simultaneamente C em 1.º e A em 2.º. Contar esses (interseção) e aplicar a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão).
Se fixamos C em 1.º e A em 2.º, restam 4 letras para permutar nas 4 posições restantes, então
N(C_1\cap A_2)=4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.

Passo 7

Aplicando inclusão-exclusão: o número de anagramas que têm C em 1.º OU A em 2.º é
N(C_1\cup A_2)=N(C_1)+N(A_2)-N(C_1\cap A_2).
Substituindo os valores que calculamos:
N(C_1\cup A_2)=120+120-24.
Fazendo a conta:
N(C_1\cup A_2)=216.
(Verificação rápida: 216 é menor que 720, faz sentido.)

Resposta

216

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