Questão 49. Quantos são os anagramas da palavra CASULO:
Que tem a letra C em
lugar ou a letra A no
lugar?
Que tem a letra C em
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra CASULO satisfazem a condição “a letra C está no
lugar ou a letra A está no
lugar”.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A palavra é “CASULO”, que tem
letras. - As letras são todas distintas:
. - A pergunta é sobre a união das duas condições:
em 1.º lugar OU em 2.º lugar (ou ambos).
Passo 2
Conceito básico que vou usar (aula masticada): se temos
objetos distintos e queremos ordenar todos eles, o número de ordens possíveis é o fatorial de
, denotado por
.
O fatorial é definido por:
O fatorial é definido por:
Exemplo simples para fixar: para
letras distintas
temos
anagramas (
).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: como há
letras distintas, o total de anagramas sem restrição é
Isso é só para dar escala — o que queremos é contar os que satisfazem a condição dada.
Passo 4
Contar os anagramas com a letra
no
lugar.
Se fixamos na posição 1, restam
letras distintas para permutar nas demais
posições. Logo o número de anagramas com
em 1.º é
Se fixamos
Explicação intuitiva: escolheu-se a primeira letra (já fixa), e as outras
podem aparecer em qualquer ordem.
Passo 5
Contar os anagramas com a letra
no
lugar.
Analogamente, se fixamos na posição 2, restam
letras para permutar nas outras posições, logo
Analogamente, se fixamos
Passo 6
Agora é preciso evitar dupla contagem: alguns anagramas têm simultaneamente
em 1.º e
em 2.º. Contar esses (interseção) e aplicar a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão).
Se fixamos em 1.º e
em 2.º, restam
letras para permutar nas
posições restantes, então
Se fixamos
Passo 7
Aplicando inclusão-exclusão: o número de anagramas que têm
em 1.º OU
em 2.º é
Substituindo os valores que calculamos:
Fazendo a conta:
(Verificação rápida:
é menor que
, faz sentido.)
Resposta
216