Questão 51. De quantos modos podemos sentar 5 pessoas em fila de modo que duas delas, digamos Pedro e Paula, não fiquem juntas?

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais informações temos.
  • Temos 5 pessoas distintas que se sentam em fila.
  • Duas pessoas específicas, Pedro e Paula, não podem ficar sentadas juntas.
  • A pergunta é: de quantos modos (arranjos) podemos sentar as 5 pessoas em fila sob essa restrição?

Passo 2

Contar primeiro o total de arranjos sem restrição.
Quando temos n objetos distintos e queremos arranjá-los em fila, o número de arranjos é dado por n! (lê-se “ n fatorial”), que significa o produto
n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots(2)(1).
Exemplo pequeno: 3!=3\cdot2\cdot1=6.
Para 5 pessoas distintas, o total de arranjos sem restrição é
5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.

Passo 3

Agora conto quantos arranjos violam a condição (ou seja, em que Pedro e Paula ficam juntos). Vou usar o método do “bloco” (agrupar as duas pessoas como uma unidade).
  • Trato Pedro e Paula como se formassem um único bloco (uma “superpessoa”) mais as outras 3 pessoas, totalizando 4 objetos distintos para arranjar.
  • O número de arranjos desses 4 objetos em fila é 4!.
  • Dentro do bloco, Pedro e Paula podem permutar entre si de 2! maneiras (Pedro à esquerda e Paula à direita, ou vice-versa).
Portanto o número de arranjos em que Pedro e Paula ficam juntos é
\underbrace{4!}_{\text{posições do bloco + 3 pessoas}}\times\underbrace{2!}_{\text{ordem interna do bloco}}.çõ
Calculemos:
4!=24,\qquad 2!=2,
4!\times2!=24\times2=48.

Passo 4

Usando contagem complementar: o número de arranjos em que Pedro e Paula NÃO ficam juntos é o total sem restrição menos os arranjos em que eles ficam juntos. Logo
\text{não-juntos}=5!- (4!\times2!)=120-48=72.ã

Passo 5

Pequena verificação mental (opcional, para confiar no resultado): a fração dos arranjos em que dois específicos estão juntos é \dfrac{48}{120}=\dfrac{2}{5}, então a fração em que não estão juntos é 1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}. Aplicando ao total 120 120\cdot\dfrac{3}{5}=72, consistente com o cálculo anterior.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (para fixar a técnica que serve para muitas questões parecidas):
  • Passo padrão: calcular total n!.
  • Calcular quantos têm a propriedade proibida (aqui tratar os dois como bloco).
  • Subtrair: resposta = total − proibidos.
    Essa técnica de contagem complementar é frequentemente a mais rápida quando a restrição é “não ficarem juntos”.

Resposta

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