Questão 49. Se
, quanto vale
?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Passo 1
O enunciado dá a expressão infinita
e pergunta quanto vale
. Também foram fornecidas as alternativas: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
. Neste passo apenas recolhi o que foi dado: a igualdade com a raiz infinita igual a
e as opções listadas.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): quando temos uma quantidade construída de forma infinita e repetitiva, como
o valor total é igual ao que aparece “logo abaixo” do primeiro radical — porque a parte interna é a mesma construção infinita. Então podemos chamar esse valor de
e escrever
Aqui
representa o valor da raiz infinita inteira; no problema
. Importante: como é uma raiz quadrada, temos sempre
.
Passo 3
A partir de
fazemos uma operação elementar: elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. Isso é permitido, lembrando que mantemos a condição
. Ao elevar:
Essa é uma equação algébrica simples que relaciona
e
.
Passo 4
Isolamos
na equação obtida. Subtraindo
dos dois lados:
Esse é uma fórmula geral que dá
em função do valor
da raiz infinita.
Passo 5
Agora substituímos o valor dado
na fórmula:
Portanto algebraicamente obtemos
.
Passo 6
Verificação e comentário sobre existência: a equação original dá, para um
que torne a construção convergente, a solução positiva da quadratic
, cujo
vale
Se
temos
, consistente com o problema. Além disso, a condição para existirem raízes reais é
, isto é
; aqui
é perfeitamente válido. Observação final: a resposta correta
não aparece nas alternativas (a)–(d), então nenhuma das alternativas fornecidas está correta.
Resposta
6