Questão 49. Se \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots . .}}}=3, quanto vale x ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Passo 1

O enunciado dá a expressão infinita
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}=3
e pergunta quanto vale x. Também foram fornecidas as alternativas: (a) 2, (b) 3, (c) 4, (d) 5. Neste passo apenas recolhi o que foi dado: a igualdade com a raiz infinita igual a 3 e as opções listadas.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): quando temos uma quantidade construída de forma infinita e repetitiva, como
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}},
o valor total é igual ao que aparece “logo abaixo” do primeiro radical — porque a parte interna é a mesma construção infinita. Então podemos chamar esse valor de y e escrever
y=\sqrt{x+y}.
Aqui y representa o valor da raiz infinita inteira; no problema y=3. Importante: como é uma raiz quadrada, temos sempre y\ge 0.

Passo 3

A partir de
y=\sqrt{x+y}
fazemos uma operação elementar: elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. Isso é permitido, lembrando que mantemos a condição y\ge0. Ao elevar:
y^2 = x + y.
Essa é uma equação algébrica simples que relaciona x e y.

Passo 4

Isolamos x na equação obtida. Subtraindo y dos dois lados:
x = y^2 - y.
Esse é uma fórmula geral que dá x em função do valor y da raiz infinita.

Passo 5

Agora substituímos o valor dado y=3 na fórmula:
x = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
Portanto algebraicamente obtemos x=6.

Passo 6

Verificação e comentário sobre existência: a equação original dá, para um x que torne a construção convergente, a solução positiva da quadratic y^2-y-x=0, cujo y vale
y=\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}.
Se x=6 temos y=(1+\sqrt{1+24})/2=(1+5)/2=3, consistente com o problema. Além disso, a condição para existirem raízes reais é 1+4x\ge0, isto é x\ge-1/4; aqui x=6 é perfeitamente válido. Observação final: a resposta correta x=6 não aparece nas alternativas (a)–(d), então nenhuma das alternativas fornecidas está correta.

Resposta

6

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