(\sqrt{2}+\sqrt{3}) x+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0 é
a) 5-2 \sqrt{6}
b) 2 \sqrt{6}-5
c) 2 \sqrt{6}+5
d) 1

Passo 1

O enunciado dá a equação
(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0
e pede o valor de x, com as opções:
\text{(a) }5-2\sqrt{6},\qquad \text{(b) }2\sqrt{6}-5,\qquad \text{\text{(c)} }2\sqrt{6}+5,\qquad \text{(d) }1.
Informações relevantes que temos: o coeficiente de x é \sqrt{2}+\sqrt{3} e o termo independente é \sqrt{3}-\sqrt{2}. A tarefa é isolar x e identificar qual alternativa corresponde ao resultado.

Passo 2

Isolando x na equação, passo o termo constante para o outro lado:
(\sqrt{2}+\sqrt{3})x = \sqrt{2}-\sqrt{3}.
Agora divido ambos os lados por \sqrt{2}+\sqrt{3} para obter x:
x = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}.

Passo 3

Explico uma técnica padrão e útil: racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador para eliminar raízes no denominador. A conjugada de \sqrt{2}+\sqrt{3} é \sqrt{2}-\sqrt{3} porque
(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{2}^{\,2}-\sqrt{3}^{\,2}=2-3=-1,
ou seja, usamos a identidade (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}. Então multiplico numerador e denominador por \sqrt{2}-\sqrt{3}:
x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} =\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}.

Passo 4

Calculo o numerador e o denominador separadamente. Primeiro o numerador — é um quadrado de binômio:
(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}=\sqrt{2}^{\,2}-2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}^{\,2}=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}.
O denominador já calculamos pela diferença de quadrados:
(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=2-3=-1.
Logo
x=\frac{5-2\sqrt{6}}{-1}=-5+2\sqrt{6}.

Passo 5

Reescrevo numa forma mais usual:
x=2\sqrt{6}-5.
Faço uma checagem numérica rápida para evitar erro de sinal: \sqrt{6}\approx 2{,}449, então 2\sqrt{6}\approx 4{,}898 e 2\sqrt{6}-5\approx -0{,}102. Se quiséssemos, poderíamos avaliar a expressão original para confirmar que dá aproximadamente o mesmo valor — isso confirma que não houve troca de sinal incorreta.

Resposta

(b) 2\sqrt{6}-5

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