Questão 3. (4pts) (FUMARC COPASA 2018) Uma lâmina de ferro de 3 mm de espessura separa câmaras de \mathrm{NH}_{3} ambas a 950^{\circ} \mathrm{C}. Nas superfícies das lâminas, têm-se, respectivamente, 0,1 \%\left(3,29 \times 10^{20}\right. átomos \left./ \mathrm{cm}^{3}\right) e 0,05 \%\left(1,645 \times 10^{20}\right. átomos \left./ \mathrm{cm}^{3}\right) em peso de nitrogênio. Determine o fluxo específico de átomos de nitrogênio através da lâmina em átomos/( \mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{~s} ).Dado: coeficiente de difusão de nitrogênio na austenita a 950^{\circ} \mathrm{C} igual a 0,0002571 \mathrm{~mm}^{2} / \mathrm{s}.
a) 1,41 \times 10^{15} átomos \mathrm{N} /\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{~s} \quad\right. b) 1,41 \times 10^{20} átomos \mathrm{N} /\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{~s} \quad \mathrm{c}\right) 2,82 \times 10^{15} átomos \mathrm{N} /\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{~s} \mathrm{~d}\right) 4,23 \times 10^{15} átomos \mathrm{N} /\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{~s}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Espessura da lâmina: L=3\\ \mathrm{mm}.
  • Nas superfícies há concentrações de nitrogênio (já fornecidas em átomos por volume):
    • Superfície 1: C_1=0,1\% correspondendo a C_1=3,29\times10^{20}\\ \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}á.
    • Superfície 2: C_2=0,05\% correspondendo a C_2=1,645\times10^{20}\\ \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}á.
  • Coeficiente de difusão dado: D=0,0002571\\ \mathrm{mm}^{2}/\mathrm{s}.
  • Temperaturas iguais em ambos os lados ( 950^\circ\mathrm{C} ) — isso só garante condições apropriadas para o uso do coeficiente dado.
  • O pedido: determinar o fluxo específico de átomos de nitrogênio através da lâmina em \text{átomos}/(\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{s})á.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê.
  • Para difusão unidimensional em regime estacionário (gradiente constante através de uma lâmina homogênea) usa-se a Lei de Fick (primeira lei):
J = -D\,\frac{dC}{dx}.
Aqui:
  • J é o fluxo de partículas por área por tempo (unidade buscada: \text{átomos}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{s})á),
  • D é o coeficiente de difusão (unidade: comprimento^{2}/tempo),
  • C é a concentração (unidade: átomos/volume),
  • x é a coordenada espacial (comprimento).
  • Se a concentração varia aproximadamente linearmente entre as duas superfícies, a derivada pode ser aproximada por diferença finita:
\frac{dC}{dx}\approx\frac{C_2-C_1}{L}.
Portanto, a magnitude do fluxo (do lado de maior concentração para o de menor concentração) é
J = D\,\frac{C_1-C_2}{L}.

Passo 3

Conversão de unidades para ter consistência (usar \mathrm{cm} e \mathrm{s}).
  • Converter D de \mathrm{mm}^{2}/\mathrm{s} para \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}. Como 1\\ \mathrm{mm}=0,1\\ \mathrm{cm}, então 1\\ \mathrm{mm}^{2}=0,01\\ \mathrm{cm}^{2}. Logo:
D = 0,0002571\\ \mathrm{mm}^{2}/\mathrm{s}\times0,01 = 0,000002571\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s} = 2,571\times10^{-6}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
  • Converter a espessura L de \mathrm{mm} para \mathrm{cm}:
L = 3\\ \mathrm{mm} = 0,3\\ \mathrm{cm}.
  • As concentrações já estão em \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}á, logo não precisam de conversão:
C_1=3,29\times10^{20}\\ \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3},\qquad C_2=1,645\times10^{20}\\ \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}.áá

Passo 4

Calcular a diferença de concentração que gera o fluxo.
\Delta C = C_1 - C_2 = 3,29\times10^{20}-1,645\times10^{20}=1,645\times10^{20}\\ \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}.á

Passo 5

Aplicar a fórmula e calcular o fluxo passo a passo.
  • Fórmula:
J = D\,\frac{\Delta C}{L}.
  • Primeiro calcular D/L:
\frac{D}{L}=\frac{2,571\times10^{-6}}{0,3}=8,57\times10^{-6}\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}.
(Obs.: a unidade fica \mathrm{cm}/\mathrm{s} porque \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s} dividido por \mathrm{cm} \mathrm{cm}/\mathrm{s}. Multiplicando por \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}á resulta em \text{átomos}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{s})á.)
  • Agora multiplicar por \Delta C:
J=(8,57\times10^{-6})\times(1,645\times10^{20})=1,410465\times10^{15}\\ \text{átomos}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{s}).á
  • Arredondando com três algarismos significativos:
J\approx1,41\times10^{15}\\ \text{átomos}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{s}).á
  • Direção: do lado de maior concentração ( C_1) para o de menor concentração ( C_2).

Resposta

1,41\times10^{15}\\ \text{átomos N}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{s})á

Exercícios relacionados