Questão 1 (4pts)
De quantas formas posso fazer uma roda com crianças, se as crianças A e B querem ficar juntas, mas as crianças C e D não querem ficar juntas.

Passo 1

O enunciado pede: contar de quantas formas é possível formar uma roda (arranjo circular) com as crianças A, B, C e D, sob as condições:
  • A e B querem ficar juntas (ou seja, sentadas em lugares adjacentes).
  • C e D não querem ficar juntas (ou seja, não devem ser adjacentes).
    Informações dadas:
  • Há exatamente quatro crianças: A,B,C,D.
  • “Roda” significa que arranjos que são rotações um do outro são considerados iguais (ou seja, contamos permutações circulares).
  • Adjacência refere-se a sentar-se em lugares consecutivos ao redor do círculo.

Passo 2

Noção básica de permutações circulares (explicação didática):
  • Para n pessoas distintas sentadas ao redor de uma mesa circular, o número de arranjos distintos (considerando rotações equivalentes) é (n-1)!.
  • Por que isso? Fixamos uma pessoa em uma posição (isso elimina a simetria de rotação) e permutamos as outras n-1 pessoas em ordem ao redor; há (n-1)! permutações possíveis para essas posições.
    Exemplo pequeno: para n=4 temos (4-1)! = 3! = 6 arranjos distintos.

Passo 3

Contar as disposições em que A e B ficam juntas (sem ainda impor a condição sobre C e D):
  • Método do bloco: juntamos A e B formando um bloco \text{(AB)}. Agora temos 3 “elementos” para arranjar circularmente: \text{(AB)}, C, D.
  • O número de arranjos circulares desses 3 elementos é (3-1)! = 2! = 2.
  • Dentro do bloco \text{(AB)} as duas crianças podem permutar entre si em 2 ordens (ou seja, A à esquerda de B ou B à esquerda de A), então multiplicamos por 2.
  • Portanto, o número total de arranjos com A e B juntos é 2 \times 2 = 4.
    Observação: esses 4 são todos os arranjos circulares de 4 crianças nos quais A e B são vizinhos.

Passo 4

Agora precisamos verificar, dentre essas disposições com A e B juntas, quantas satisfazem que C e D não fiquem juntas. Vamos analisar a configuração geométrica para 4 lugares:
  • Num círculo com 4 lugares, as cadeiras podem ser numeradas ciclicamente 1,2,3,4.
  • Se A e B ocupam lugares adjacentes, digamos i e i+1 (com índices mod 4), então os lugares restantes são i+2 e i+3.
  • Note que os lugares i+2 e i+3 são consecutivos também (são adjacentes), pois (i+2) e (i+3) diferem por 1 módulo 4.
  • Isso significa: sempre que duas pessoas ocupam lugares adjacentes numa roda de 4, as duas pessoas restantes também ficam em lugares adjacentes.

Passo 5

Conclusão lógica a partir do passo anterior:
  • Como fizemos a conta e vimos que existem 4 arranjos com A e B juntos, e como em qualquer arranjo de 4 pessoas a presença de um par adjacente implica que o par complementar também esteja adjacente, em todos esses 4 arranjos C e D estarão necessariamente juntos.
  • Portanto não existe nenhum arranjo que satisfaça simultaneamente " A e B juntos" e " C e D não juntos".

Resposta

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