Questão 1 (4pts)
De quantas formas posso fazer uma roda com crianças, se as crianças A e B querem ficar juntas, mas as crianças C e D não querem ficar juntas.
De quantas formas posso fazer uma roda com crianças, se as crianças A e B querem ficar juntas, mas as crianças C e D não querem ficar juntas.
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantas formas é possível formar uma roda (arranjo circular) com as crianças
,
,
e
, sob as condições:
-
e querem ficar juntas (ou seja, sentadas em lugares adjacentes). -
e não querem ficar juntas (ou seja, não devem ser adjacentes).
Informações dadas: - Há exatamente quatro crianças:
. - “Roda” significa que arranjos que são rotações um do outro são considerados iguais (ou seja, contamos permutações circulares).
- Adjacência refere-se a sentar-se em lugares consecutivos ao redor do círculo.
Passo 2
Noção básica de permutações circulares (explicação didática):
- Para
pessoas distintas sentadas ao redor de uma mesa circular, o número de arranjos distintos (considerando rotações equivalentes) é . - Por que isso? Fixamos uma pessoa em uma posição (isso elimina a simetria de rotação) e permutamos as outras
pessoas em ordem ao redor; há permutações possíveis para essas posições.
Exemplo pequeno: paratemos arranjos distintos.
Passo 3
Contar as disposições em que
e
ficam juntas (sem ainda impor a condição sobre
e
):
- Método do bloco: juntamos
e formando um bloco . Agora temos 3 “elementos” para arranjar circularmente: . - O número de arranjos circulares desses 3 elementos é
. - Dentro do bloco
as duas crianças podem permutar entre si em ordens (ou seja, à esquerda de ou à esquerda de ), então multiplicamos por . - Portanto, o número total de arranjos com
e juntos é .
Observação: essessão todos os arranjos circulares de crianças nos quais e são vizinhos.
Passo 4
Agora precisamos verificar, dentre essas disposições com
e
juntas, quantas satisfazem que
e
não fiquem juntas. Vamos analisar a configuração geométrica para
lugares:
- Num círculo com
lugares, as cadeiras podem ser numeradas ciclicamente . - Se
e ocupam lugares adjacentes, digamos e (com índices mod ), então os lugares restantes são e . - Note que os lugares
e são consecutivos também (são adjacentes), pois e diferem por módulo . - Isso significa: sempre que duas pessoas ocupam lugares adjacentes numa roda de
, as duas pessoas restantes também ficam em lugares adjacentes.
Passo 5
Conclusão lógica a partir do passo anterior:
- Como fizemos a conta e vimos que existem
arranjos com e juntos, e como em qualquer arranjo de pessoas a presença de um par adjacente implica que o par complementar também esteja adjacente, em todos esses arranjos e estarão necessariamente juntos. - Portanto não existe nenhum arranjo que satisfaça simultaneamente "
e juntos" e " e não juntos".