Questão 1 (4pts)
Tenho 30 alunos. De quantas formas posso escolher 2 grupos de 5 alunos dentre eles?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 30 alunos no total.
  • Quer-se escolher 2 grupos de 5 alunos dentre esses 30.
A pergunta é: de quantas maneiras isso pode ser feito?

Passo 2

Antes de começar a contar, há uma ambiguidade comum nesse tipo de enunciado: os dois grupos são “rotulados” (por exemplo, grupo A e grupo B, diferentes entre si) ou são “não rotulados” (apenas duas equipes sem nome, trocar os grupos não cria uma nova escolha)?
Vou apresentar as duas interpretações (porque o professor pode querer qualquer uma). Depois mostro qual é a interpretação mais comum e por que. Ambas as contas são fáceis e relacionadas entre si.

Passo 3

Conceito-chave (passo-a-passo, sem pular):
  • Para contar quantas maneiras escolher k elementos de um conjunto de n quando a ordem dentro da escolha não importa usamos o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
Exemplo pequeno: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10. Isso conta subconjuntos de tamanho 2 de um conjunto de 5 elementos.

Passo 4

Contagem quando os grupos são distinguíveis (rotulados):
  • Primeiro escolhe-se os 5 alunos do primeiro grupo: \displaystyle \binom{30}{5} maneiras.
  • Depois escolhe-se os 5 alunos do segundo grupo entre os 30-5=25 restantes: \displaystyle \binom{25}{5} maneiras.
  • Como a escolha do primeiro e do segundo grupo é uma sequência de decisões independentes, multiplica-se:
\text{(rotulados)}=\binom{30}{5}\cdot\binom{25}{5}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \binom{30}{5} passo a passo (sem usar calculadora, simplificando frações):
\binom{30}{5}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Simplificando fator a fator:
\frac{30}{5}=6,\quad \frac{28}{4}=7,\quad \frac{27}{3}=9,\quad \frac{26}{2}=13,\quad \frac{29}{1}=29.
Multiplicando:
\binom{30}{5}=6\cdot29\cdot7\cdot9\cdot13=142{,}506.

Passo 6

Calcular \displaystyle \binom{25}{5} passo a passo:
\binom{25}{5}=\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Simplificando:
\frac{25}{5}=5,\quad \frac{24}{4}=6,\quad \frac{22}{2}=11,\quad \frac{21}{3}=7,\quad \frac{23}{1}=23.
Multiplicando:
\binom{25}{5}=5\cdot6\cdot23\cdot11\cdot7=53{,}130.

Passo 7

Multiplicando para o caso rotulado:
\binom{30}{5}\cdot\binom{25}{5}=142{,}506\cdot53{,}130=7{,}571{,}343{,}780.
Logo, se os dois grupos forem rotulados (por exemplo, Grupo A e Grupo B), existem \,7{,}571{,}343{,}780, maneiras.

Passo 8

Contagem quando os grupos são indistinguíveis (não rotulados):
  • No raciocínio do Passo 4 cada divisão em dois grupos foi contada duas vezes: uma vez com um certo subconjunto como “primeiro” e o outro como “segundo” e outra vez trocando-os. Se os grupos não têm rótulo essas duas contagens correspondem à mesma divisão. Portanto basta dividir por 2:
\text{(não rotulados)}=\frac{\binom{30}{5}\cdot\binom{25}{5}}{2}.ã
Numericamente,
\frac{7{,}571{,}343{,}780}{2}=3{,}785{,}671{,}890.

Passo 9

Verificação alternativa (mesma resposta por identidade combinatória): escolher os 10 alunos que vão pertencer aos dois grupos e, dentro desses 10, escolher 5 para formar o primeiro grupo e os outros 5 formam o segundo. Isso dá
\binom{30}{10}\cdot\binom{10}{5}.
Ao expandir os fatoriais essa expressão é igual a \binom{30}{5}\binom{25}{5}, e se os grupos são não rotulados divide-se por 2 — mesma conta, apenas outro ponto de vista. Isso é bom para checar que não houve erro.

Resposta

Se os dois grupos são indistinguíveis (não rotulados): \dfrac{\binom{30}{5}\binom{25}{5}}{2}=3785671890
Se os dois grupos são distinguíveis (rotulados): \binom{30}{5}\binom{25}{5}=7571343780

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