Questão 1 (4pts)
Tenho 30 alunos. De quantas formas posso escolher 2 grupos de 5 alunos dentre eles?
Tenho 30 alunos. De quantas formas posso escolher 2 grupos de 5 alunos dentre eles?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
alunos no total. - Quer-se escolher
grupos de alunos dentre esses .
A pergunta é: de quantas maneiras isso pode ser feito?
Passo 2
Antes de começar a contar, há uma ambiguidade comum nesse tipo de enunciado: os dois grupos são “rotulados” (por exemplo, grupo A e grupo B, diferentes entre si) ou são “não rotulados” (apenas duas equipes sem nome, trocar os grupos não cria uma nova escolha)?
Vou apresentar as duas interpretações (porque o professor pode querer qualquer uma). Depois mostro qual é a interpretação mais comum e por que. Ambas as contas são fáceis e relacionadas entre si.
Vou apresentar as duas interpretações (porque o professor pode querer qualquer uma). Depois mostro qual é a interpretação mais comum e por que. Ambas as contas são fáceis e relacionadas entre si.
Passo 3
Conceito-chave (passo-a-passo, sem pular):
- Para contar quantas maneiras escolher
elementos de um conjunto de quando a ordem dentro da escolha não importa usamos o coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) é
.
Exemplo pequeno: . Isso conta subconjuntos de tamanho
de um conjunto de
elementos.
Exemplo pequeno:
Passo 4
Contagem quando os grupos são distinguíveis (rotulados):
- Primeiro escolhe-se os
alunos do primeiro grupo: maneiras. - Depois escolhe-se os
alunos do segundo grupo entre os restantes: maneiras. - Como a escolha do primeiro e do segundo grupo é uma sequência de decisões independentes, multiplica-se:
Passo 5
Calcular
passo a passo (sem usar calculadora, simplificando frações):
Simplificando fator a fator:
Multiplicando:
Passo 6
Calcular
passo a passo:
Simplificando:
Multiplicando:
Passo 7
Multiplicando para o caso rotulado:
Logo, se os dois grupos forem rotulados (por exemplo, Grupo A e Grupo B), existem
, maneiras.
Passo 8
Contagem quando os grupos são indistinguíveis (não rotulados):
- No raciocínio do Passo 4 cada divisão em dois grupos foi contada duas vezes: uma vez com um certo subconjunto como “primeiro” e o outro como “segundo” e outra vez trocando-os. Se os grupos não têm rótulo essas duas contagens correspondem à mesma divisão. Portanto basta dividir por
:
Numericamente,
Passo 9
Verificação alternativa (mesma resposta por identidade combinatória): escolher os
alunos que vão pertencer aos dois grupos e, dentro desses
, escolher
para formar o primeiro grupo e os outros
formam o segundo. Isso dá
Ao expandir os fatoriais essa expressão é igual a
, e se os grupos são não rotulados divide-se por
— mesma conta, apenas outro ponto de vista. Isso é bom para checar que não houve erro.
Resposta
Se os dois grupos são indistinguíveis (não rotulados):
Se os dois grupos são distinguíveis (rotulados):
Se os dois grupos são distinguíveis (rotulados):