Questão 1 (4pts)
Quantas soluções inteiras não negativas existem para
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=20 \text { com } x_{1}<10 \text { e } x_{3} \geq 5 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=20
sujeitas às condições \,x_{1}<10\, e \,x_{3}\ge 5.
Informações relevantes dadas:
  • Soma total: \;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=20.
  • Restrição 1: \;x_{1}<10 (equivalente a \;x_{1}\le 9).
  • Restrição 2: \;x_{3}\ge 5.
  • Procuramos apenas soluções com todas as x_i inteiras e não negativas.

Passo 2

Transformar a restrição \,x_{3}\ge 5\, para trabalhar com variáveis não negativas padrão. Defina
y_{3}=x_{3}-5,
então \,y_{3}\ge 0\, e \,x_{3}=y_{3}+5. Substituindo na soma:
x_{1}+x_{2}+(y_{3}+5)+x_{4}+x_{5}=20.
Isolando os termos:
x_{1}+x_{2}+y_{3}+x_{4}+x_{5}=15.
Agora temos uma soma de cinco variáveis não negativas que vale \;15, com a única restrição ainda sendo \;x_{1}\le 9.

Passo 3

Apresentar a ferramenta principal: o princípio “bolinhas e urnas” (stars and bars).
Fato (estendido e explicado): o número de soluções inteiras não negativas da equação
z_{1}+z_{2}+\dots+z_{k}=n
é dado por
\binom{n+k-1}{k-1}.
Por que isso? Imagine \,n\, estrelas colocadas em fila; para dividir essas estrelas em k grupos (cada grupo correspondendo a z_{i}) colocam-se k-1 barras entre as estrelas. Cada escolha das posições das k-1 barras entre as n+k-1 posições determina uma composição dos n em k partes não negativas. Assim contamos as formas de escolher essas posições: \binom{n+k-1}{k-1}.
Exemplo pequeno (para fixar a ideia): para \,a+b+c=3\, (isto é n=3, k=3), temos
\binom{3+3-1}{3-1}=\binom{5}{2}=10
soluções — pode-se listar e verificar.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao problema transformado sem considerar ainda a restrição superior em \,x_{1}.
Aqui n=15 e k=5. O número total de soluções não negativas de
x_{1}+x_{2}+y_{3}+x_{4}+x_{5}=15
sem restrição superior é
\binom{15+5-1}{5-1}=\binom{19}{4}.
Calcular \binom{19}{4} passo a passo:
\binom{19}{4}=\frac{19\cdot18\cdot17\cdot16}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Compute numerador e denominador:
19\cdot18=342,\quad 342\cdot17=5814,\quad 5814\cdot16=93024,
4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
Logo
\binom{19}{4}=\frac{93024}{24}=3876.

Passo 5

Agora impor a restrição \,x_{1}\le 9. Usamos contagem por complemento (inclusão-exclusão simples): contamos todas as soluções e subtraímos as que violam a restrição, ou seja, as soluções com \,x_{1}\ge 10.
Para contar soluções com \,x_{1}\ge 10, faça a substituição \,x_{1}'=x_{1}-10 com \,x_{1}'\ge 0. A equação torna-se
x_{1}'+x_{2}+y_{3}+x_{4}+x_{5}=5.
Aqui n=5 e k=5, portanto o número de soluções com \,x_{1}\ge 10 é
\binom{5+5-1}{5-1}=\binom{9}{4}.
Calcule \binom{9}{4}:
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{3024}{24}=126.

Passo 6

Aplicar a inclusão-exclusão simples: o número de soluções que satisfazem todas as condições é
\binom{19}{4}-\binom{9}{4}=3876-126=3750.
Intuição final: começamos contando todas as distribuições possíveis após ajustar \,x_{3}, e então removemos aquelas em que \,x_{1} é grande demais ( \ge 10). O resultado é o número pedido.

Resposta

3750

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