Obtenha a lagrangiana e as equações de Lagrange para um pêndulo esférico, isto é, uma massa
suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento
cujo movimento não está restrito a um plano.
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo esférico: uma massa
presa por um fio leve e inextensível de comprimento
, cujo movimento não fica restrito a um plano. O conteúdo envolve formalismo lagrangiano, isto é, identificar coordenadas generalizadas, escrever energia cinética
e potencial
e aplicar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento.
Passo 2
Escolhemos como coordenadas generalizadas o ângulo polar
(medido a partir da vertical) e o ângulo azimutal
. A posição da massa em coordenadas cartesianas, com a origem no ponto de suspensão, é
Dessa forma, o quadrado da velocidade é
e a energia cinética fica
Passo 3
Para a energia potencial tomamos referência em
(massa diretamente abaixo do ponto de suspensão). O deslocamento vertical é
, então
Podemos acrescentar a constante
sem alterar as equações de movimento, obtendo
Passo 4
A lagrangiana é definida por
Passo 5
Aplicando a equação de Euler–Lagrange para
:
Calculamos
Logo a equação de movimento em
é
ou seja
Passo 6
Para
temos
Como
não depende de
,
, e
de modo que
Isso expressa a conservação do momento angular azimutal:
Resposta
A lagrangiana do pêndulo esférico é
As equações de Lagrange resultantes são