Obtenha a lagrangiana e as equações de Lagrange para um pêndulo esférico, isto é, uma massa m suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento l cujo movimento não está restrito a um plano.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo esférico: uma massa m presa por um fio leve e inextensível de comprimento l, cujo movimento não fica restrito a um plano. O conteúdo envolve formalismo lagrangiano, isto é, identificar coordenadas generalizadas, escrever energia cinética T e potencial V e aplicar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento.

Passo 2

Escolhemos como coordenadas generalizadas o ângulo polar \theta (medido a partir da vertical) e o ângulo azimutal \varphi. A posição da massa em coordenadas cartesianas, com a origem no ponto de suspensão, é
x = l\sin\theta\cos\varphi,\quad y = l\sin\theta\sin\varphi,\quad z = -\,l\cos\theta.
Dessa forma, o quadrado da velocidade é
\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2 = l^2\dot\theta^2 + l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi^2,
e a energia cinética fica
T = \tfrac12\,m\bigl(l^2\dot\theta^2 + l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi^2\bigr).

Passo 3

Para a energia potencial tomamos referência em \theta=0 (massa diretamente abaixo do ponto de suspensão). O deslocamento vertical é z=-l\cos\theta, então
V = m g\,z = -m g\,l\cos\theta.
Podemos acrescentar a constante m g l sem alterar as equações de movimento, obtendo
V = m g\,l\bigl(1 - \cos\theta\bigr).

Passo 4

A lagrangiana é definida por
L = T - V = \tfrac12\,m l^2\dot\theta^2 + \tfrac12\,m l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi^2 - m g\,l\bigl(1 - \cos\theta\bigr).

Passo 5

Aplicando a equação de Euler–Lagrange para \theta:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\Bigr) - \frac{\partial L}{\partial\theta} = 0.
Calculamos
\frac{\partial L}{\partial\dot\theta} = m l^2\dot\theta,\quad \frac{d}{dt}\bigl(m l^2\dot\theta\bigr)=m l^2\ddot\theta,
\frac{\partial L}{\partial\theta} = m l^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2 - m g\,l\sin\theta.
Logo a equação de movimento em \theta é
m l^2\ddot\theta - m l^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2 + m g\,l\sin\theta = 0,
ou seja
\ddot\theta - \sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2 + \frac{g}{l}\sin\theta = 0.

Passo 6

Para \varphi temos
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}\Bigr) - \frac{\partial L}{\partial\varphi} = 0.
Como L não depende de \varphi, \partial L/\partial\varphi=0, e
\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi} = m l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi,
de modo que
\frac{d}{dt}\bigl(m l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi\bigr) = 0.
Isso expressa a conservação do momento angular azimutal:
m l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi = \text{constante}.

Resposta

A lagrangiana do pêndulo esférico é
L = \tfrac12\,m l^2\dot\theta^2 + \tfrac12\,m l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi^2 - m g\,l\bigl(1 - \cos\theta\bigr).
As equações de Lagrange resultantes são
\ddot\theta - \sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2 + \frac{g}{l}\sin\theta = 0, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(m l^2\sin^2\theta\,\dot\varphi\bigr) = 0.

Exercícios relacionados