Classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=2 x^{3}+6 x y+3 y^{2} .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=2x^{3}+6xy+3y^{2}.
Vamos usar derivadas parciais para achar os candidatos a extremos e depois o teste das derivadas de segunda ordem (Hessiana) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6x^{2} + 6y
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 6x + 6y

Passo 3

Igualando as derivadas a zero, obtemos o sistema
6x^{2}+6y=0, \quad 6x+6y=0.
Dividindo cada equação por 6, vem
x^{2}+y=0, \quad x+y=0.
Da segunda equação y=-x. Substituindo na primeira:
x^{2}+(-x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0
Logo x=0 ou x=1. Como y=-x, os pontos críticos são
(0,0) \quad\text{e}\quad (1,-1).

Passo 4

Agora calculemos as segundas derivadas e formemos a matriz Hessiana H:
f_{xx}=12x, \quad f_{xy}=6, \quad f_{yy}=6.
Portanto
H(x,y)= \begin{pmatrix} 12x & 6\\\\ 6 & 6 \end{pmatrix}.
No teste de classificação usamos o determinante
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}
e o sinal de f_{xx}. Se D>0 e f_{xx}>0 é mínimo; se D>0 e f_{xx}<0 é máximo; se D<0 é ponto de sela.

Passo 5

Avaliação em (0,0):
H(0,0)= \begin{pmatrix} 0 & 6\\\\ 6 & 6 \end{pmatrix}, \quad D = 0\cdot6 - 6^{2} = -36 <0,
logo (0,0) é ponto de sela.
Avaliação em (1,-1):
H(1,-1)= \begin{pmatrix} 12 & 6\\\\ 6 & 6 \end{pmatrix}, \quad D = 12\cdot6 - 6^{2} = 36 >0, \quad f_{xx}(1,-1)=12>0,
logo (1,-1) é mínimo local.

Resposta

(0,0) ponto de sela.
(1,-1) mínimo local.

Exercícios relacionados