O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=2x^{3}+6xy+3y^{2}.
Vamos usar derivadas parciais para achar os candidatos a extremos e depois o teste das derivadas de segunda ordem (Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6x^{2} + 6y
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 6x + 6y
Passo 3
Igualando as derivadas a zero, obtemos o sistema
6x^{2}+6y=0, \quad 6x+6y=0.
Dividindo cada equação por 6, vem
x^{2}+y=0, \quad x+y=0.
Da segunda equação y=-x. Substituindo na primeira:
x^{2}+(-x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0
Logo x=0 ou x=1. Como y=-x, os pontos críticos são
(0,0) \quad\text{e}\quad (1,-1).
Passo 4
Agora calculemos as segundas derivadas e formemos a matriz Hessiana H: