Questão 5[2.0 pontos]

Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definida por \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\frac{\mathbf{2} \boldsymbol{x}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}-\mathbf{6} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{1 0}. Determine:
a) \mathrm{O}(\mathrm{s}) intervalo(s) aberto(s) nos quais o gráfico de f é côncavo para cima;
b) A(s) coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f, caso existam.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-6x^{2}+10.
O que está sendo pedido:
  • (a) Determinar o(s) intervalo(s) aberto(s) em que o gráfico de f é côncavo para cima;
  • (b) Determinar as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f, caso existam.
Informações relevantes dadas/implícitas: o domínio de f é todo \mathbb{R} (polinômio) e todas as operações necessárias (derivação, comparação de sinais) são válidas em \mathbb{R}.

Passo 2

Relembrando a ferramenta principal: para estudar concavidade usamos a segunda derivada. Regras de derivação que vamos usar:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
  • Regra do fator constante: \dfrac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x), onde c é constante.
Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Aplicando as regras:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3}\right)=\frac{2}{3}\cdot 3x^{2}=2x^{2},
\frac{d}{dx}(-6x^{2})=-6\cdot 2x=-12x,
\frac{d}{dx}(10)=0.
Portanto,
f'(x)=2x^{2}-12x.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada f''(x), derivando f'(x). Usando a regra do poder:
\frac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot 2x=4x, \qquad \frac{d}{dx}(-12x)=-12,
logo
f''(x)=4x-12.
Podemos fatorar para ver melhor:
f''(x)=4(x-3).

Passo 4

Conceito importante sobre concavidade (aula rápida): se a segunda derivada satisfaz
  • f''(x)>0 em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para cima nesse intervalo;
  • f''(x)<0 em um intervalo, então é côncavo para baixo nesse intervalo.
Aplicando isso aqui, resolvemos a desigualdade para obter onde f''(x)>0:
4(x-3)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-3>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>3.
Portanto o gráfico de f é côncavo para cima em todo o intervalo aberto (3,\infty). (Como observação adicional: para x<3 temos f''(x)<0, ou seja, côncavo para baixo em (-\infty,3).)

Passo 5

Definição de ponto de inflexão (aula rápida): um ponto x_0 é ponto de inflexão se a concavidade muda de um lado para o outro em x_0. Uma condição prática: buscar x_0 tal que f''(x_0)=0 (ou onde f'' não é definida) e verificar que f'' troca de sinal em x_0.
Resolver f''(x)=0:
4(x-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Precisamos confirmar mudança de sinal de f'' ao passar por x=3. Avaliando valores de teste:
f''(2)=4(2-3)=4(-1)=-4<0, \qquad f''(4)=4(4-3)=4>0.
Como f'' é negativa à esquerda de 3 e positiva à direita de 3, há mudança de concavidade em x=3; logo x=3 é abscissa de um ponto de inflexão.
Agora encontramos a ordenada correspondente calculando f(3). Fazendo as contas passo a passo:
\frac{2}{3}\cdot 3^{3}=\frac{2}{3}\cdot 27=18,
-6\cdot 3^{2}=-6\cdot 9=-54,
f(3)=18-54+10=18-44=-26.
Portanto o ponto de inflexão tem coordenadas \bigl(3,-26\bigr).

Resposta

(a) (3,\infty)
(b) \bigl(3,-26\bigr)

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