Questão 5[2.0 pontos]
Seja
, definida por
. Determine:
a)
intervalo(s) aberto(s) nos quais o gráfico de f é côncavo para cima;
b) A(s) coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f, caso existam.
a)
b) A(s) coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f, caso existam.
Passo 1
O enunciado fornece a função
O que está sendo pedido:
- (a) Determinar o(s) intervalo(s) aberto(s) em que o gráfico de
é côncavo para cima; - (b) Determinar as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de
, caso existam.
Informações relevantes dadas/implícitas: o domínio de
é todo
(polinômio) e todas as operações necessárias (derivação, comparação de sinais) são válidas em
.
Passo 2
Relembrando a ferramenta principal: para estudar concavidade usamos a segunda derivada. Regras de derivação que vamos usar:
- Regra do poder:
. - Regra do fator constante:
, onde é constante.
Vamos calcular a primeira derivada
. Aplicando as regras:
Portanto,
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
, derivando
. Usando a regra do poder:
logo
Podemos fatorar para ver melhor:
Passo 4
Conceito importante sobre concavidade (aula rápida): se a segunda derivada satisfaz
-
em um intervalo, então o gráfico de é côncavo para cima nesse intervalo; -
em um intervalo, então é côncavo para baixo nesse intervalo.
Aplicando isso aqui, resolvemos a desigualdade para obter onde
:
Portanto o gráfico de
é côncavo para cima em todo o intervalo aberto
. (Como observação adicional: para
temos
, ou seja, côncavo para baixo em
.)
Passo 5
Definição de ponto de inflexão (aula rápida): um ponto
é ponto de inflexão se a concavidade muda de um lado para o outro em
. Uma condição prática: buscar
tal que
(ou onde
não é definida) e verificar que
troca de sinal em
.
Resolver
:
Precisamos confirmar mudança de sinal de
ao passar por
. Avaliando valores de teste:
Como
é negativa à esquerda de
e positiva à direita de
, há mudança de concavidade em
; logo
é abscissa de um ponto de inflexão.
Agora encontramos a ordenada correspondente calculando
. Fazendo as contas passo a passo:
Portanto o ponto de inflexão tem coordenadas
.
Resposta
(a)
(b)