Questão 4[2.0 pontos] Derive e simplifique as derivadas das funções a seguir, atentando para as condições de existência das funções.:
g(x)=\ln \left(4-x^{3}\right) \cdot\left(\cos e^{(x-5)}\right), \operatorname{com} 4-x^{3}>0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=\ln\!\bigl(4-x^{3}\bigr)\cdot\cos\!\bigl(e^{(x-5)}\bigr)
com a condição explícita de existência \,4-x^{3}>0.
O que é pedido:
  • Determinar a derivada g'(x) e simplificá-la;
  • Atentar e informar as condições de existência/onde a derivada faz sentido (domínio).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A função contém um produto de duas funções: \ln(4-x^{3}) e \cos(e^{x-5}).
  • A condição fornecida é \,4-x^{3}>0 (ou seja x<\sqrt[3]{4}).

Passo 2

Estratégia de diferenciação (o porquê das regras que vamos usar):
  • Como g(x) é produto de duas funções, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, para u(x) e v(x),
\bigl(u\cdot v\bigr)'=u'\,v+u\,v'.
Aqui u(x)=\ln(4-x^{3}) e v(x)=\cos(e^{x-5}).
  • Para derivar u(x)=\ln\!(\text{algo}) usamos a regra da cadeia para o logaritmo: se u(x)=\ln(w(x)) então
u'(x)=\frac{w'(x)}{w(x)}.
Ou seja, derivada de \ln é a derivada do interno dividida pelo interno.
  • Para derivar v(x)=\cos(\text{algo}) também usamos a regra da cadeia: se v(x)=\cos(z(x)) então
v'(x)=-\sin(z(x))\cdot z'(x).
  • Para derivar e^{x-5} usamos que \dfrac{d}{dx}e^{x-5}=e^{x-5} porque derivada da exponencial e^{t} é e^{t} vezes t'.
Calma: vou aplicar essas regras passo a passo, explicando cada derivada intermediária.

Passo 3

Identificar as funções auxiliares e derivá-las:
  • Defina u(x)=\ln\!\bigl(4-x^{3}\bigr).
    • O interno é w(x)=4-x^{3}. A derivada de w é w'(x)=-3x^{2} (porque \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} e há o sinal negativo).
    • Aplicando a fórmula do logaritmo:
    u'(x)=\frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{-3x^{2}}{4-x^{3}}.Explicação: a derivada de \ln transforma a derivada do interno em numerador e o próprio interno em denominador.

Passo 4

Derivar a segunda função:
  • Defina v(x)=\cos\!\bigl(e^{x-5}\bigr).
    • Primeiro, anote z(x)=e^{x-5}. A derivada de z é z'(x)=e^{x-5}.
    • Agora aplique a cadeia para \cos:
    v'(x)=-\sin\!\bigl(e^{x-5}\bigr)\cdot e^{x-5}.Explicação: derivada de \cos é -\sin vezes a derivada do argumento; o argumento é e^{x-5}, cuja derivada é ele próprio.

Passo 5

Aplicar a regra do produto e montar g'(x):
  • Pela regra do produto,
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Substituindo u,u',v,v' encontrados:
g'(x)=\frac{-3x^{2}}{4-x^{3}}\cdot\cos\!\bigl(e^{x-5}\bigr) +\ln\!\bigl(4-x^{3}\bigr)\cdot\bigl(-\sin\!\bigl(e^{x-5}\bigr)\cdot e^{x-5}\bigr).

Passo 6

Simplificar a expressão e apresentar em forma clara:
  • Podemos recolher os sinais negativos para deixar mais compacto. Escrevendo de forma simplificada:
g'(x)=-\frac{3x^{2}\cos\!\bigl(e^{x-5}\bigr)}{4-x^{3}} -e^{x-5}\,\ln\!\bigl(4-x^{3}\bigr)\,\sin\!\bigl(e^{x-5}\bigr).
  • Ambas as formas (a expandida e esta simplificada) são equivalentes; esta última é mais direta para leitura na prova.

Passo 7

Condições de existência da derivada:
  • A função original exige \,4-x^{3}>0, isto é
x<\sqrt[3]{4}.
  • Em todo esse intervalo temos 4-x^{3}\neq0 (é estritamente positivo), logo os termos \ln(4-x^{3}) e \dfrac{1}{4-x^{3}} estão bem definidos e finitos.
  • As demais funções envolvidas ( \cos, \sin, e^{x-5}) são definidas para todo x.
  • Portanto a derivada g'(x) existe e é válida exatamente para os x que satisfazem x<\sqrt[3]{4} (mesmo domínio da função dada).

Resposta

g'(x)=-\frac{3x^{2}\cos\!\bigl(e^{x-5}\bigr)}{4-x^{3}}-e^{x-5}\,\ln\!\bigl(4-x^{3}\bigr)\,\sin\!\bigl(e^{x-5}\bigr)
Domínio de existência: x<\sqrt[3]{4}.

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