Questão 4[2.0 pontos] Derive e simplifique as derivadas das funções a seguir, atentando para as condições de existência das funções.:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com a condição explícita de existência
.
O que é pedido:
O que é pedido:
- Determinar a derivada
e simplificá-la; - Atentar e informar as condições de existência/onde a derivada faz sentido (domínio).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A função contém um produto de duas funções:
e . - A condição fornecida é
(ou seja ).
Passo 2
Estratégia de diferenciação (o porquê das regras que vamos usar):
- Como
é produto de duas funções, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, para e ,
Aqui
e
.
- Para derivar
usamos a regra da cadeia para o logaritmo: se então
Ou seja, derivada de
é a derivada do interno dividida pelo interno.
- Para derivar
também usamos a regra da cadeia: se então
- Para derivar
usamos que porque derivada da exponencial é vezes .
Calma: vou aplicar essas regras passo a passo, explicando cada derivada intermediária.
Passo 3
Identificar as funções auxiliares e derivá-las:
- Defina
. - O interno é
. A derivada de é (porque e há o sinal negativo). - Aplicando a fórmula do logaritmo:
Explicação: a derivada de transforma a derivada do interno em numerador e o próprio interno em denominador. - O interno é
Passo 4
Derivar a segunda função:
- Defina
. - Primeiro, anote
. A derivada de é . - Agora aplique a cadeia para
:
Explicação: derivada de é vezes a derivada do argumento; o argumento é , cuja derivada é ele próprio. - Primeiro, anote
Passo 5
Aplicar a regra do produto e montar
:
- Pela regra do produto,
- Substituindo
encontrados:
Passo 6
Simplificar a expressão e apresentar em forma clara:
- Podemos recolher os sinais negativos para deixar mais compacto. Escrevendo de forma simplificada:
- Ambas as formas (a expandida e esta simplificada) são equivalentes; esta última é mais direta para leitura na prova.
Passo 7
Condições de existência da derivada:
- A função original exige
, isto é
- Em todo esse intervalo temos
(é estritamente positivo), logo os termos e estão bem definidos e finitos. - As demais funções envolvidas (
, , ) são definidas para todo . - Portanto a derivada
existe e é válida exatamente para os que satisfazem (mesmo domínio da função dada).
Resposta
Domínio de existência:
.