Questão 4[2.0 pontos] Derive e simplifique as derivadas das funções a seguir, atentando para as condições de existência das funções.: f(x)=\operatorname{arcsec}(3-2 x), \operatorname{com}|3-2 x| \geq 1
Passo 1
O enunciado dá a função f e a condição sobre o argumento da arcsec:
Indicar as condições de existência (onde a função está definida e onde a derivada existe).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O argumento da função inversa é u(x)=3-2x.
A função \operatorname{arcsec}(t) só é definida para |t|\geq 1. Assim o domínio de f (incluindo pontos onde a arcsec é definida) é dado por |3-2x|\geq 1.
Passo 2
Vamos lembrar e justificar a fórmula da derivada de \operatorname{arcsec}(x) — isso é importante para aplicar a regra da cadeia corretamente.
Um modo limpo de obter a derivada é usar a identidade
válida para |x|\ge 1 com a convenção usual de ramos. Aplicando derivada em ambos os lados (regra da cadeia) temos:
começando por \operatorname{arccos}(t) cuja derivada é
Observação sobre existência: a derivada requer x^{2}-1>0, i.e. |x|>1. Nos pontos x=\pm1 a arcsec pode ser definida mas a derivada não existe (diverge).
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia à nossa função. Defina
Verificações e simplificações finais e análise da existência:
A expressão acima é válida quando a raiz existe, isto é, quando (3-2x)^{2}-1>0, equivalendo a |3-2x|>1. Isso corresponde aos x tais que
|3-2x|>1 \iff x<1 \\ \text{ ou }\\ x>2.
Nos pontos x=1 e x=2 temos |3-2x|=1 (argumento da arcsec igual a \pm1); a função \operatorname{arcsec}(3-2x) está definida nesses pontos, mas a derivada não existe porque a raiz no denominador fica zero.
Podemos também eliminar o valor absoluto escrevendo a derivada de forma piecewise usando a sinalização do argumento, lembrando que o domínio da derivada só contém x<1 e x>2.