Questão 4[2.0 pontos] Derive e simplifique as derivadas das funções a seguir, atentando para as condições de existência das funções.:
f(x)=\operatorname{arcsec}(3-2 x), \operatorname{com}|3-2 x| \geq 1

Passo 1

O enunciado dá a função f e a condição sobre o argumento da arcsec:
f(x)=\operatorname{arcsec}\bigl(3-2x\bigr),\qquad \text{com }|3-2x|\geq 1.
O que é pedido:
  • Derivar f(x) e simplificar a derivada.
  • Indicar as condições de existência (onde a função está definida e onde a derivada existe).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O argumento da função inversa é u(x)=3-2x.
  • A função \operatorname{arcsec}(t) só é definida para |t|\geq 1. Assim o domínio de f (incluindo pontos onde a arcsec é definida) é dado por |3-2x|\geq 1.

Passo 2

Vamos lembrar e justificar a fórmula da derivada de \operatorname{arcsec}(x) — isso é importante para aplicar a regra da cadeia corretamente.
Um modo limpo de obter a derivada é usar a identidade
\operatorname{arcsec}(x)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{x}\right),
válida para |x|\ge 1 com a convenção usual de ramos. Aplicando derivada em ambos os lados (regra da cadeia) temos:
começando por \operatorname{arccos}(t) cuja derivada é
\frac{d}{dt}\operatorname{arccos}(t)=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Agora faça t=\dfrac{1}{x}. Então
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x) = \frac{d}{dx}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(1/x)^{2}}}.
Calcule \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}}. Substituindo:
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x) = -\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}}}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{|x|},
pois a raiz quadrada dá valor não negativo e o fator x pode ser negativo. Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x) = \frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}.
Essa é a fórmula padrão:
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}},\qquad (|x|>1).
Observação sobre existência: a derivada requer x^{2}-1>0, i.e. |x|>1. Nos pontos x=\pm1 a arcsec pode ser definida mas a derivada não existe (diverge).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia à nossa função. Defina
u(x)=3-2x,\qquad f(x)=\operatorname{arcsec}\bigl(u(x)\bigr).
A derivada pela regra da cadeia é
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}\bigl(u(x)\bigr) = \frac{u'(x)}{|u(x)|\sqrt{u(x)^{2}-1}}.
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3-2x)=-2.
Substituindo u(x)=3-2x e u'(x)=-2 na fórmula:
f'(x)=\frac{-2}{\bigl|3-2x\bigr|\sqrt{(3-2x)^{2}-1}}.

Passo 4

Verificações e simplificações finais e análise da existência:
  • A expressão acima é válida quando a raiz existe, isto é, quando (3-2x)^{2}-1>0, equivalendo a |3-2x|>1. Isso corresponde aos x tais que
|3-2x|>1 \iff x<1 \\ \text{ ou }\\ x>2.
  • Nos pontos x=1 e x=2 temos |3-2x|=1 (argumento da arcsec igual a \pm1); a função \operatorname{arcsec}(3-2x) está definida nesses pontos, mas a derivada não existe porque a raiz no denominador fica zero.
Podemos também eliminar o valor absoluto escrevendo a derivada de forma piecewise usando a sinalização do argumento, lembrando que o domínio da derivada só contém x<1 e x>2.
Para x<1 tem-se 3-2x>1>0, então |3-2x|=3-2x e
f'(x)=\frac{-2}{(3-2x)\sqrt{(3-2x)^{2}-1}},\qquad (x<1).
Para x>2 tem-se 3-2x<-1, então |3-2x|=-(3-2x)=2x-3 e
f'(x)=\frac{-2}{(2x-3)\sqrt{(3-2x)^{2}-1}},\qquad (x>2).
Observação: ambas as fórmulas piecewise são equivalentes à fórmula com valor absoluto; a escolha é só para quem prefere tirar o módulo explicitamente.

Passo 5

Resumo final, cuidado e dica prática para a prova:
  • Fórmula curta que se usa direto na prova: se f(x)=\operatorname{arcsec}(u(x))\) então \[f'(x)=\frac{u'(x)}{|u(x)|\sqrt{u(x)^{2}-1}}.
  • No caso u(x)=3-2x isso dá
f'(x)=\frac{-2}{\bigl|3-2x\bigr|\sqrt{(3-2x)^{2}-1}},\qquad \text{válido para }|3-2x|>1á
ou, equivalentemente,
f'(x)= \begin{cases} \displaystyle -\dfrac{2}{(3-2x)\sqrt{(3-2x)^{2}-1}}, & x<1,\\[8pt] \displaystyle -\dfrac{2}{(2x-3)\sqrt{(3-2x)^{2}-1}}, & x>2. \end{cases}
  • Lembre-se: nos pontos x=1\] e \(x=2 a função está definida mas a derivada não existe.]

Resposta

f'(x)=\frac{-2}{\bigl|3-2x\bigr|\sqrt{(3-2x)^{2}-1}}
\{x\in\mathbb{R}\mid |3-2x|>1\}=(-\infty,1)\cup(2,\infty)

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