(Questão 52 - Seção 3.4 - Magalhães) Sendo X e Y variáveis independentes com distribuição Uniforme Contínua em (\alpha, \beta), obtenha a densidade de X+Y, usando os procedimentos abaixo:
(a) Através do método direto, obtendo primeiro a função de distribuição.
(b) Via a expressão da convolução de densidades.
(c) Via método do Jacobiano.
Passo 1
O enunciado pede para obter a densidade de X+Y onde X e Y são variáveis independentes, cada uma com distribuição Uniforme Contínua em (\alpha,\beta). São três pedidos iguais (obter a densidade de X+Y) feitos por três métodos distintos:
(a) pelo método direto, primeiro obtendo a função de distribuição de S=X+Y;
(b) usando a expressão da convolução de densidades;
(c) usando o método do Jacobiano (transformação de variáveis).
Informações dadas e relevantes:
X\sim\text{Uniforme}(\alpha,\beta),\qquad Y\sim\text{Uniforme}(\alpha,\beta),\qquad X\perp Y.
e zero fora desse intervalo. Vou usar a notação L=\beta-\alpha>0 para facilitar algumas expressões. A soma S=X+Y tem suporte (2\alpha,2\beta). A resolução começa agora.
Passo 2
Preparação e ideia geral (fórmulas e conceitos que vamos usar):
Como X e Y são independentes, a densidade conjunta é
com os limites reduzidos pelos suportes das densidades.
No método do Jacobiano, fazemos a transformação (x,y)\mapsto (u,v) com u=x+y (a soma) e alguma outra variável conveniente (por exemplo v=x), calculamos o jacobiano e integramos sobre a imagem da região.
Vou executar cada método passo a passo.
Passo 3
Método (a) — calcular F_S(t) diretamente por área geométrica.
Troque de coordenadas para simplificar: defina u=x-\alpha, v=y-\alpha. Então (u,v) varia no quadrado [0,L]\times[0,L] e x+y\le t equivale a u+v\le t-2\alpha. Assim
Se t\le 2\alpha, então t-2\alpha\le 0 e não há pontos no quadrado com u+v\le t-2\alpha, logo
F_S(t)=0\quad\text{para }t\le 2\alpha.
Se 2\alpha<t<\alpha+\beta (isto é, 0<t-2\alpha<L), a região u+v\le t-2\alpha dentro do quadrado é um triângulo retângulo de catetos de comprimento t-2\alpha. A área deste triângulo é
Se \alpha+\beta\le t<2\beta (isto é, L\le t-2\alpha<2L), a região u+v\le t-2\alpha cobre quase todo o quadrado, sobrando fora um triângulo no canto oposto (superior direito) cujo cateto tem comprimento 2\beta-t. A área da parte não incluída é \tfrac{(2\beta-t)^2}{2}. Logo a área incluída é
coerente com as duas expressões (são contínuas nas faixas internas). Fora de (2\alpha,2\beta) a densidade é zero. Assim pelo método direto chegamos à densidade triangular esperada.
Passo 5
Método (b) — usar a convolução de densidades.
A convolução dá
Como f_X(x)=\dfrac{1}{L}\mathbf{1}_{(\alpha,\beta)}(x) e f_Y(y)=\dfrac{1}{L}\mathbf{1}_{(\alpha,\beta)}(y), o integrando é \dfrac{1}{L^2} quando x\in(\alpha,\beta) e s-x\in(\alpha,\beta), e zero caso contrário. Logo a integral reduz-se a integrar a constante \dfrac{1}{L^2} sobre a interseção
Estas fórmulas coincidem com as obtidas no método direto.
Passo 6
Observação e verificação (normalização e forma):
A densidade é contínua em t nas faixas internas e integra a 1 (triângulo cuja base tem comprimento 2L e altura 1/L tem área \tfrac{1}{2}\cdot 2L\cdot \tfrac{1}{L}=1).
O pico está em t=\alpha+\beta com valor f_S(\alpha+\beta)=1/L.
Tudo consistente com o que já obtivemos.
Passo 7
Método (c) — método do Jacobiano (transformação linear).
Escolhemos a transformação linear
u=x+y,\qquad v=x.
A inversa é
x=v,\qquad y=u-v.
O jacobiano da transformação (x,y)\mapsto(u,v) é a matriz
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix},
cujo determinante absoluto é |\det|=1. (Outra forma: a transformação linear tem determinante \pm1, logo o fator jacobiano é 1.)
A densidade conjunta de (U,V)=(u,v) é então
f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(v,u-v)\cdot 1=\frac{1}{L^2}
quando (v,u-v)\in(\alpha,\beta)\times(\alpha,\beta), e zero caso contrário.
Para obter a densidade marginal de U fazemos, para cada u,
logo o comprimento do intervalo de integração é \min(\beta,u-\alpha)-\max(\alpha,u-\beta) (se positivo). Voltamos à mesma expressão do método da convolução e, fazendo a análise por faixas de u, obtemos novamente