1. (Questão 52 - Seção 3.4 - Magalhães) Sendo X e Y variáveis independentes com distribuição Uniforme Contínua em (\alpha, \beta), obtenha a densidade de X+Y, usando os procedimentos abaixo:
    (a) Através do método direto, obtendo primeiro a função de distribuição.
    (b) Via a expressão da convolução de densidades.
    (c) Via método do Jacobiano.

Passo 1

O enunciado pede para obter a densidade de X+Y onde X e Y são variáveis independentes, cada uma com distribuição Uniforme Contínua em (\alpha,\beta). São três pedidos iguais (obter a densidade de X+Y) feitos por três métodos distintos:
(a) pelo método direto, primeiro obtendo a função de distribuição de S=X+Y;
(b) usando a expressão da convolução de densidades;
(c) usando o método do Jacobiano (transformação de variáveis).
Informações dadas e relevantes:
X\sim\text{Uniforme}(\alpha,\beta),\qquad Y\sim\text{Uniforme}(\alpha,\beta),\qquad X\perp Y.
A densidade marginal de cada uma é
f_X(x)=f_Y(y)=\frac{1}{\beta-\alpha}\quad\text{para }\alpha<x<\beta,
e zero fora desse intervalo. Vou usar a notação L=\beta-\alpha>0 para facilitar algumas expressões. A soma S=X+Y tem suporte (2\alpha,2\beta). A resolução começa agora.

Passo 2

Preparação e ideia geral (fórmulas e conceitos que vamos usar):
  • Como X e Y são independentes, a densidade conjunta é
f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{L^2}\quad\text{para }(x,y)\in(\alpha,\beta)\times(\alpha,\beta).
  • Seja S=X+Y. A função de distribuição de S é
F_S(t)=P(S\le t)=\iint_{x+y\le t} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy,
a integral sobre a porção do quadrado (\alpha,\beta)^2 abaixo da reta x+y=t.
  • A densidade de S é f_S(t)=F_S'(t) quando F_S for diferenciável.
  • A convolução dá a densidade diretamente:
f_S(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(s-x)\,dx,
com os limites reduzidos pelos suportes das densidades.
  • No método do Jacobiano, fazemos a transformação (x,y)\mapsto (u,v) com u=x+y (a soma) e alguma outra variável conveniente (por exemplo v=x), calculamos o jacobiano e integramos sobre a imagem da região.
Vou executar cada método passo a passo.

Passo 3

Método (a) — calcular F_S(t) diretamente por área geométrica.
Troque de coordenadas para simplificar: defina u=x-\alpha, v=y-\alpha. Então (u,v) varia no quadrado [0,L]\times[0,L] e x+y\le t equivale a u+v\le t-2\alpha. Assim
F_S(t)=\frac{1}{L^2}\cdot\text{Área}\{(u,v)\in[0,L]^2:\;u+v\le t-2\alpha\}.Á
Agora analisamos por faixas de t:
  1. Se t\le 2\alpha, então t-2\alpha\le 0 e não há pontos no quadrado com u+v\le t-2\alpha, logo
F_S(t)=0\quad\text{para }t\le 2\alpha.
  1. Se 2\alpha<t<\alpha+\beta (isto é, 0<t-2\alpha<L), a região u+v\le t-2\alpha dentro do quadrado é um triângulo retângulo de catetos de comprimento t-2\alpha. A área deste triângulo é
\text{Área}=\frac{(t-2\alpha)^2}{2}.Á
Portanto
F_S(t)=\frac{(t-2\alpha)^2}{2L^2}\quad\text{para }2\alpha<t<\alpha+\beta.
  1. Se \alpha+\beta\le t<2\beta (isto é, L\le t-2\alpha<2L), a região u+v\le t-2\alpha cobre quase todo o quadrado, sobrando fora um triângulo no canto oposto (superior direito) cujo cateto tem comprimento 2\beta-t. A área da parte não incluída é \tfrac{(2\beta-t)^2}{2}. Logo a área incluída é
\text{Área}=L^2-\frac{(2\beta-t)^2}{2},Á
e
F_S(t)=1-\frac{(2\beta-t)^2}{2L^2}\quad\text{para }\alpha+\beta\le t<2\beta.
  1. Se t\ge 2\beta, então u+v\le t-2\alpha contém todo o quadrado e
F_S(t)=1\quad\text{para }t\ge 2\beta.
Isso conclui o cálculo da função de distribuição por área.

Passo 4

Método (a) — obter a densidade f_S(t) derivando F_S(t).
Derivando as expressões de F_S(t) nas faixas internas obtemos:
Para 2\alpha<t<\alpha+\beta:
F_S(t)=\frac{(t-2\alpha)^2}{2L^2}\quad\Rightarrow\quad f_S(t)=\frac{d}{dt}F_S(t)=\frac{t-2\alpha}{L^2}.
Para \alpha+\beta<t<2\beta:
F_S(t)=1-\frac{(2\beta-t)^2}{2L^2}\quad\Rightarrow\quad f_S(t)=\frac{2\beta-t}{L^2}.
Nos pontos de junta t=\alpha+\beta a densidade tem o valor limite
f_S(\alpha+\beta)=\frac{\beta-\alpha}{L^2}=\frac{1}{L},
coerente com as duas expressões (são contínuas nas faixas internas). Fora de (2\alpha,2\beta) a densidade é zero. Assim pelo método direto chegamos à densidade triangular esperada.

Passo 5

Método (b) — usar a convolução de densidades.
A convolução dá
f_S(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,f_Y(s-x)\,dx.
Como f_X(x)=\dfrac{1}{L}\mathbf{1}_{(\alpha,\beta)}(x) e f_Y(y)=\dfrac{1}{L}\mathbf{1}_{(\alpha,\beta)}(y), o integrando é \dfrac{1}{L^2} quando x\in(\alpha,\beta) e s-x\in(\alpha,\beta), e zero caso contrário. Logo a integral reduz-se a integrar a constante \dfrac{1}{L^2} sobre a interseção
x\in(\alpha,\beta)\cap(s-\beta,s-\alpha).
Portanto
f_S(s)=\frac{1}{L^2}\cdot\Big(\min(\beta,s-\alpha)-\max(\alpha,s-\beta)\Big),
quando a diferença for positiva, e zero caso contrário. Vamos transformar essa expressão em fórmulas mais explícitas por faixas de s:
  • Se s\le 2\alpha ou s\ge 2\beta a interseção é vazia e f_S(s)=0.
  • Se 2\alpha<s<\alpha+\beta, então s-\beta<\alpha e s-\alpha<\beta, e a interseção tem comprimento s-2\alpha. Assim
f_S(s)=\frac{s-2\alpha}{L^2}\quad\text{para }2\alpha<s<\alpha+\beta.
  • Se \alpha+\beta<s<2\beta, então s-\beta>\alpha e s-\alpha>\beta pode não ocorrer; o comprimento da interseção dá 2\beta-s. Assim
f_S(s)=\frac{2\beta-s}{L^2}\quad\text{para }\alpha+\beta<s<2\beta.
Estas fórmulas coincidem com as obtidas no método direto.

Passo 6

Observação e verificação (normalização e forma):
  • A densidade é contínua em t nas faixas internas e integra a 1 (triângulo cuja base tem comprimento 2L e altura 1/L tem área \tfrac{1}{2}\cdot 2L\cdot \tfrac{1}{L}=1).
  • O pico está em t=\alpha+\beta com valor f_S(\alpha+\beta)=1/L.
    Tudo consistente com o que já obtivemos.

Passo 7

Método (c) — método do Jacobiano (transformação linear).
Escolhemos a transformação linear
u=x+y,\qquad v=x.
A inversa é
x=v,\qquad y=u-v.
O jacobiano da transformação (x,y)\mapsto(u,v) é a matriz
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix},
cujo determinante absoluto é |\det|=1. (Outra forma: a transformação linear tem determinante \pm1, logo o fator jacobiano é 1.)
A densidade conjunta de (U,V)=(u,v) é então
f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(v,u-v)\cdot 1=\frac{1}{L^2}
quando (v,u-v)\in(\alpha,\beta)\times(\alpha,\beta), e zero caso contrário.
Para obter a densidade marginal de U fazemos, para cada u,
f_U(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{U,V}(u,v)\,dv =\frac{1}{L^2}\int_{v:\,\alpha\le v\le\beta,\\ \alpha\le u-v\le\beta} dv.
As condições equivalem a
v\in[\alpha,\beta]\cap[u-\beta,u-\alpha],
logo o comprimento do intervalo de integração é \min(\beta,u-\alpha)-\max(\alpha,u-\beta) (se positivo). Voltamos à mesma expressão do método da convolução e, fazendo a análise por faixas de u, obtemos novamente
f_U(u)=\begin{cases} \dfrac{u-2\alpha}{L^2}, & 2\alpha<u<\alpha+\beta,\\[6pt] \dfrac{2\beta-u}{L^2}, & \alpha+\beta<u<2\beta,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Assim o método do Jacobiano dá exatamente a mesma densidade triangular.]

Resposta

(a) F_S(t)=\begin{cases} 0, & t\le 2\alpha,\\[4pt] \dfrac{(t-2\alpha)^2}{2(\beta-\alpha)^2}, & 2\alpha<t<\alpha+\beta,\\[6pt] 1-\dfrac{(2\beta-t)^2}{2(\beta-\alpha)^2}, & \alpha+\beta\le t<2\beta,\\[6pt] 1, & t\ge 2\beta, \end{cases}\n
(b) f_S(s)=\begin{cases} \dfrac{s-2\alpha}{(\beta-\alpha)^2}, & 2\alpha<s<\alpha+\beta,\\[6pt] \dfrac{2\beta-s}{(\beta-\alpha)^2}, & \alpha+\beta<s<2\beta,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á\n
(c) f_S(u)=\begin{cases} \dfrac{u-2\alpha}{(\beta-\alpha)^2}, & 2\alpha<u<\alpha+\beta,\\[6pt] \dfrac{2\beta-u}{(\beta-\alpha)^2}, & \alpha+\beta<u<2\beta,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á]

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