Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{i}+Q(x, y, z) \vec{j}+R(x, y, z) \vec{k},
onde \quad P(x, y, z)=2 x y \ln \left(z^{2}+1\right)+y e^{x y}, \quad Q(x, y, z)=x^{2} \ln \left(z^{2}+1\right)+x e^{x y} \quad \mathrm{e} R(x, y, z)=\frac{2 x^{2} y z}{z^{2}+1}+1.
(a) Mostre que \vec{F} é conservativo sem exibir uma função potencial para \vec{F}.
(b) Obtenha uma função potencial para o campo \vec{F}.
(c) Calcule \int_{\beta} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, onde \beta é a curva parametrizada por
\vec{r}(t)=(\cos t) \vec{i}+(\operatorname{sen} t) \vec{j}+t \vec{k}, \quad 0 \leq t \leq \pi .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\,\vec{i}+Q(x,y,z)\,\vec{j}+R(x,y,z)\,\vec{k},
com
P(x,y,z)=2xy\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+y e^{xy},
Q(x,y,z)=x^{2}\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+x e^{xy},
R(x,y,z)=\frac{2x^{2}yz}{z^{2}+1}+1.
As perguntas são:
(a) Mostrar que \vec{F} é conservativo sem apresentar explicitamente uma função potencial (ou seja, usando uma condição suficiente como o rotacional nulo).
(b) Encontrar uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
(c) Calcular \displaystyle\int_{\beta}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde \beta é a curva parametrizada por
\vec{r}(t)=(\cos t)\,\vec{i}+(\operatorname{sen} t)\,\vec{j}+t\,\vec{k},\qquad 0\le t\le\pi.

Passo 2

Vamos recordar a ferramenta que usamos para (a). Para um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) com derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, uma condição suficiente para ser conservativo é que o rotacional seja o vetor nulo:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
O rotacional é dado pelas componentes
\nabla\times\vec{F}=\bigl(R_{y}-Q_{z}\bigr)\,\vec{i}+\bigl(P_{z}-R_{x}\bigr)\,\vec{j}+\bigl(Q_{x}-P_{y}\bigr)\,\vec{k},
onde f_{x} denota \partial f/\partial x, etc. Iremos calcular essas derivadas parciais explicitamente (transformando um pouco a dor de cabeça em passos mecânicos e fáceis).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias, devagar e com carinho.
Derivadas de P(x,y,z)=2xy\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+y e^{xy}:
P_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(2xy\ln(z^{2}+1)\Bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y e^{xy}\Bigr).
  • Na primeira parcela, 2x\ln(z^{2}+1) é linear em y, logo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\ln(z^{2}+1)\bigr)=2x\ln(z^{2}+1).
  • Na segunda parcela, usamos regra do produto: \frac{d}{dy}\bigl(y e^{xy}\bigr)=e^{xy}+y\cdot e^{xy}\cdot x=e^{xy}(1+xy).
    Portanto
P_{y}=2x\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+e^{xy}(1+xy).
Agora P_{z}: apenas o termo com \ln(z^{2}+1) depende de z. Sabendo \frac{d}{dz}\ln(z^{2}+1)=\dfrac{2z}{z^{2}+1},
P_{z}=2xy\cdot\frac{2z}{z^{2}+1}=\frac{4xyz}{z^{2}+1}.

Passo 4

Derivadas de Q(x,y,z)=x^{2}\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+x e^{xy}:
Compute Q_{x}:
  • \partial_{x}\bigl(x^{2}\ln(z^{2}+1)\bigr)=2x\ln(z^{2}+1).
  • \partial_{x}\bigl(x e^{xy}\bigr)=e^{xy}+x\cdot e^{xy}\cdot y=e^{xy}(1+xy).
    Logo
Q_{x}=2x\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+e^{xy}(1+xy).
Compute Q_{z}: só o primeiro termo depende de z, então
Q_{z}=x^{2}\cdot\frac{2z}{z^{2}+1}=\frac{2x^{2}z}{z^{2}+1}.

Passo 5

Derivadas de R(x,y,z)=\dfrac{2x^{2}yz}{z^{2}+1}+1:
Compute R_{x}: tratar y,z como constantes,
R_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2x^{2}yz}{z^{2}+1}\right)=\frac{4xyz}{z^{2}+1}.
Compute R_{y}:
R_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2x^{2}yz}{z^{2}+1}\right)=\frac{2x^{2}z}{z^{2}+1}.
(Nota: R_{z} não é necessário agora, mas daria uma expressão mais trabalhosa envolvendo derivada do quociente; não precisamos dela.)

Passo 6

Agora montamos o rotacional usando as fórmulas do Passo 2 e as derivadas calculadas:
Componente \vec{i}:
R_{y}-Q_{z}=\frac{2x^{2}z}{z^{2}+1}-\frac{2x^{2}z}{z^{2}+1}=0.
Componente \vec{j}:
P_{z}-R_{x}=\frac{4xyz}{z^{2}+1}-\frac{4xyz}{z^{2}+1}=0.
Componente \vec{k}:
Q_{x}-P_{y}=\bigl(2x\ln(z^{2}+1)+e^{xy}(1+xy)\bigr)-\bigl(2x\ln(z^{2}+1)+e^{xy}(1+xy)\bigr)=0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Passo 7

Precisamos verificar a hipótese do teorema: o campo está definido e tem derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^{3} porque \ln(z^{2}+1) é bem definido e suave para todo z. O domínio é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo. Assim, pela condição suficiente (rotacional nulo em domínio simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} é conservativo. Isso responde a parte (a) sem precisar “adivinhar” a potencial explicitamente.

Passo 8

Agora parte (b): encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Procedimento padrão: integrar \phi_{x}=P em x, introduzindo uma “constante” de integração que pode depender de y,z, e depois determinar essa função usando \phi_{y}=Q e \phi_{z}=R.
Começamos por integrar
\phi_{x}=2xy\ln(z^{2}+1)+y e^{xy}
em relação a x, tratando y,z como constantes.
Integral termo a termo:
  • \displaystyle\int 2xy\ln(z^{2}+1)\,dx = y\ln(z^{2}+1)\int 2x\,dx = y\ln(z^{2}+1)\,x^{2}=x^{2}y\ln(z^{2}+1).
  • \displaystyle\int y e^{xy}\,dx. Aqui y é constante; lembrando que \frac{d}{dx}e^{xy}=y e^{xy}, temos \displaystyle\int y e^{xy}\,dx=e^{xy}.
Logo
\varphi(x,y,z)=x^{2}y\ln(z^{2}+1)+e^{xy}+g(y,z),
onde g(y,z) é a “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 9

Agora impomos \phi_{y}=Q. Calcule \phi_{y} da expressão acima:
\phi_{y}=x^{2}\ln(z^{2}+1)+x e^{xy}+g_{y}(y,z).
Mas sabemos que Q(x,y,z)=x^{2}\ln(z^{2}+1)+x e^{xy}. Comparando, obtemos
g_{y}(y,z)=0,
ou seja, g não depende de y: g(y,z)=h(z) para alguma função h de z só.
Portanto agora
\varphi(x,y,z)=x^{2}y\ln(z^{2}+1)+e^{xy}+h(z).

Passo 10

Usamos \phi_{z}=R para determinar h(z). Calcule \phi_{z}:
\phi_{z}=x^{2}y\cdot\frac{2z}{z^{2}+1}+0+h'(z)=\frac{2x^{2}yz}{z^{2}+1}+h'(z).
Comparando com R(x,y,z)=\dfrac{2x^{2}yz}{z^{2}+1}+1, obtemos
h'(z)=1.
Integrando h'(z)=1 h(z)=z+C, com C constante real.
Portanto uma função potencial (podemos escolher C=0) é
\varphi(x,y,z)=x^{2}y\ln(z^{2}+1)+e^{xy}+z.
(Se quiser, pode somar uma constante arbitrária; isso não altera \nabla\varphi.)

Passo 11

Parte (c): para calcular \displaystyle\int_{\beta}\vec{F}\cdot d\vec{r} usaremos o Teorema Fundamental para campos conservativos: se \vec{F}=\nabla\varphi e \beta é uma curva diferenciável de t=a até t=b com \vec{r}(t), então
\int_{\beta}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\vec{r}(b)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(a)\bigr).
Aqui \vec{r}(t)=(\cos t,\operatorname{sen} t,t), a=0, b=\pi. Calculemos os extremos:
\vec{r}(0)=(\cos 0,\operatorname{sen} 0,0)=(1,0,0).
\vec{r}(\pi)=(\cos\pi,\operatorname{sen}\pi,\pi)=(-1,0,\pi).
Avalie \varphi nesses pontos (usar \varphi(x,y,z)=x^{2}y\ln(z^{2}+1)+e^{xy}+z).
Para \vec{r}(\pi)=(-1,0,\pi):
  • x^{2}y\ln(z^{2}+1)=(-1)^{2}\cdot 0\cdot\ln(\pi^{2}+1)=0.
  • e^{xy}=e^{(-1)\cdot 0}=e^{0}=1.
  • termo z=\pi.
    Logo \varphi\bigl(\vec{r}(\pi)\bigr)=1+\pi.
Para \vec{r}(0)=(1,0,0):
  • x^{2}y\ln(z^{2}+1)=1^{2}\cdot 0\cdot\ln(0^{2}+1)=0.
  • e^{xy}=e^{1\cdot 0}=1.
  • z=0.
    Logo \varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr)=1.
Portanto, pelo Teorema Fundamental,
\int_{\beta}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\bigl(1+\pi\bigr)-1=\pi.

Resposta

(a) \vec{F} é conservativo.
(b) \displaystyle \varphi(x,y,z)=x^{2}y\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+e^{xy}+z (mais uma constante arbitrária).
(c) \displaystyle \int_{\beta}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\pi.

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