\vec{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \vec{i}+Q(x, y, z) \vec{j}+R(x, y, z) \vec{k},
onde \quad P(x, y, z)=2 x y \ln \left(z^{2}+1\right)+y e^{x y}, \quad Q(x, y, z)=x^{2} \ln \left(z^{2}+1\right)+x e^{x y} \quad \mathrm{e} R(x, y, z)=\frac{2 x^{2} y z}{z^{2}+1}+1.
(a) Mostre que \vec{F} é conservativo sem exibir uma função potencial para \vec{F}.
(b) Obtenha uma função potencial para o campo \vec{F}.
(c) Calcule \int_{\beta} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, onde \beta é a curva parametrizada por
As perguntas são:
(a) Mostrar que \vec{F} é conservativo sem apresentar explicitamente uma função potencial (ou seja, usando uma condição suficiente como o rotacional nulo).
(b) Encontrar uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
(c) Calcular \displaystyle\int_{\beta}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde \beta é a curva parametrizada por
Vamos recordar a ferramenta que usamos para (a). Para um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) com derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, uma condição suficiente para ser conservativo é que o rotacional seja o vetor nulo:
onde f_{x} denota \partial f/\partial x, etc. Iremos calcular essas derivadas parciais explicitamente (transformando um pouco a dor de cabeça em passos mecânicos e fáceis).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias, devagar e com carinho.
Derivadas de P(x,y,z)=2xy\ln\!\bigl(z^{2}+1\bigr)+y e^{xy}:
Precisamos verificar a hipótese do teorema: o campo está definido e tem derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^{3} porque \ln(z^{2}+1) é bem definido e suave para todo z. O domínio é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo. Assim, pela condição suficiente (rotacional nulo em domínio simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} é conservativo. Isso responde a parte (a) sem precisar “adivinhar” a potencial explicitamente.
Passo 8
Agora parte (b): encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Procedimento padrão: integrar \phi_{x}=P em x, introduzindo uma “constante” de integração que pode depender de y,z, e depois determinar essa função usando \phi_{y}=Q e \phi_{z}=R.
Comparando com R(x,y,z)=\dfrac{2x^{2}yz}{z^{2}+1}+1, obtemos
h'(z)=1.
Integrando h'(z)=1 dá h(z)=z+C, com C constante real.
Portanto uma função potencial (podemos escolher C=0) é
\varphi(x,y,z)=x^{2}y\ln(z^{2}+1)+e^{xy}+z.
(Se quiser, pode somar uma constante arbitrária; isso não altera \nabla\varphi.)
Passo 11
Parte (c): para calcular \displaystyle\int_{\beta}\vec{F}\cdot d\vec{r} usaremos o Teorema Fundamental para campos conservativos: se \vec{F}=\nabla\varphi e \beta é uma curva diferenciável de t=a até t=b com \vec{r}(t), então