Questão 54
O avião mais veloz de todos os tempos, o SR-71, mais conhecido como BlackBird, foi projetado para alcançar Mach 3.5 e conseguia voar a uma altura de 24.3 km . Suponha que esse avião esteja fazendo uma operação de reconhecimento perto da sua residência e que a velocidade do som no local seja de 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desconsiderando sua altura, quanto tempo depois do avião passar verticalmente sobre sua cabeça você ouvirá o estrondo sônico?

Passo 1

O enunciado diz que o SR-71 voa a Mach 3,5, a altitude é h=24{,}3\;\mathrm{km} e a velocidade do som local é c=340\;\mathrm{m/s}. Queremos o tempo entre o avião passar exatamente sobre a nossa cabeça e, depois, ouvirmos o estrondo sônico. O conteúdo é a geometria do cone de Mach e cálculos de trajetórias de onda.

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade do avião a partir de Mach 3,5:
v = M\,c = 3{,}5 \times 340 = 1190\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

O ângulo de meia-abertura do cone de Mach satisfaz
\sin\mu = \frac{c}{v} = \frac{1}{M} \quad\Longrightarrow\quad \mu = \arcsin\!\Bigl(\frac{1}{3{,}5}\Bigr)\approx16{,}6^\circ.

Passo 4

A trajetória do plano até o ponto em que o estrondo que chegará a você é gerado se projeta horizontalmente uma distância
D = h\;\cot\mu.

Passo 5

No instante em que o avião atinge esse ponto ele já voou horizontalmente por
D = 24300\;\mathrm{m}\;\cot(16{,}6^\circ)\approx8{,}14\times10^4\;\mathrm{m},
levando um tempo
t_1 = \frac{D}{v}=\frac{8{,}14\times10^4}{1190}\approx68{,}4\;\mathrm{s}.

Passo 6

Em seguida o estrondo gerado lá percorre a distância ao observador igual à geratriz do cone,
R = \frac{h}{\sin\mu}=\frac{24300}{\sin(16{,}6^\circ)}\approx8{,}50\times10^4\;\mathrm{m},
num tempo
t_2 = \frac{R}{c}=\frac{8{,}50\times10^4}{340}\approx250{,}0\;\mathrm{s}.

Passo 7

O tempo total de atraso é
t = t_1 + t_2 \approx68{,}4 + 250{,}0 = 318{,}4\;\mathrm{s}\approx5{,}3\;\text{min}.

Resposta

Você ouvirá o estrondo cerca de 318 s (aprox. 5{,}3 min) depois que o avião passar sobre sua cabeça.

Exercícios relacionados