Questão 52
Um músico muito bem treinado estava atravessando uma rua quando quase foi atropelado por um carro. Em sua denúncia, ele afirma que o motorista estava acima do limite de velocidade da pista, porque ele percebia uma frequência de 440 Hz enquanto o carro se aproximava, e quando se afastava, a frequência era de 368 Hz . Sabendo que a velocidade do som é de 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a velocidade com que o motorista estava trafegando?
Sabendo que o limite de velocidade da via era de
80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, ele estava infringindo a lei?

Passo 1

O enunciado diz que um músico ouviu a frequência de aproximação f_1=440\text{ Hz} e, ao afastar-se o carro, f_2=368\text{ Hz}. A velocidade do som é v=340\text{ m/s}. Precisamos usar o efeito Doppler para fonte em movimento e observador fixo para determinar a velocidade da fonte v_s e depois comparar com o limite de 80\text{ km/h}.

Passo 2

Para fonte em movimento em direção ao ouvinte, a frequência percebida é
f_1 = f\,\frac{v}{v - v_s},
onde f é a frequência emitida e v_s é a velocidade da fonte. Quando a fonte se afasta,
f_2 = f\,\frac{v}{v + v_s}.

Passo 3

Dividindo as duas equações para eliminar f, temos
\frac{f_1}{f_2} = \frac{\displaystyle\frac{v}{v - v_s}}{\displaystyle\frac{v}{v + v_s}} = \frac{v + v_s}{v - v_s}.
Definindo
r = \frac{f_1}{f_2} = \frac{440}{368} = \frac{55}{46},
obtém-se
r = \frac{v + v_s}{v - v_s} \quad\Longrightarrow\quad r(v - v_s) = v + v_s.

Passo 4

Resolvendo para v_s,
r\,v - r\,v_s = v + v_s \quad\Longrightarrow\quad v_s\,(r + 1) = v\,(r - 1) \quad\Longrightarrow\quad v_s = v\,\frac{r - 1}{r + 1}.
Substituindo r = 55/46,
r - 1 = \frac{9}{46},\quad r + 1 = \frac{101}{46} \quad\Longrightarrow\quad v_s = 340\,\frac{9/46}{101/46} = 340\,\frac{9}{101}\approx 30{,}3\text{ m/s}.

Passo 5

Convertendo para \text{km/h}:
30{,}3\text{ m/s}\times 3{,}6 \approx 109{,}1\text{ km/h}.
Como o limite era 80\text{ km/h}, o motorista estava excedendo em cerca de 29{,}1\text{ km/h}.

Resposta

A velocidade do carro era aproximadamente 30{,}3\text{ m/s} (≈ 109{,}1\text{ km/h}), portanto sim, ele ultrapassava o limite de 80\text{ km/h}.

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