Questão 51
Duas ondas sonoras propagam-se em um sólido, a primeira dada por u1 ( x, t ) = 2 \cos (8.2 x-16.01 t) e u2 (x, t)=2 \cos (7.8 x-15.99 t), em unidades do SI.
Qual é a velocidade de fase da onda resultante?
Qual é a velocidade de grupo da onda resultante?

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas sonoras em um sólido:
u_1(x,t)=2\cos\bigl(8{,}2\,x-16{,}01\,t\bigr), \quad u_2(x,t)=2\cos\bigl(7{,}8\,x-15{,}99\,t\bigr).
O conteúdo é interferência de duas ondas de parâmetros próximos (batimento), onde usamos a identidade
\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr)
e as definições
v_{\mathrm{f}}=\frac{\omega}{k}, \quad v_{\mathrm{g}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.

Passo 2

Somamos u_1+u_2 aplicando a identidade com \alpha=8{,}2x-16{,}01t e \beta=7{,}8x-15{,}99t:
u(x,t)=2\cos\alpha+2\cos\beta =4\cos\!\Bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\Bigr).

Passo 3

Calculamos os argumentos médio e de diferença:
\frac{\alpha+\beta}{2} =\Bigl(\tfrac{8{,}2+7{,}8}{2}\Bigr)x-\Bigl(\tfrac{16{,}01+15{,}99}{2}\Bigr)t =8\,x-16\,t,
\frac{\alpha-\beta}{2} =\Bigl(\tfrac{8{,}2-7{,}8}{2}\Bigr)x-\Bigl(\tfrac{16{,}01-15{,}99}{2}\Bigr)t =0{,}2\,x-0{,}01\,t.
Logo
u(x,t)=4\cos(8x-16t)\;\cos(0{,}2x-0{,}01t).
O primeiro cosseno é a portadora e o segundo o envelope (batimento).

Passo 4

Na portadora temos
k_0=\frac{8{,}2+7{,}8}{2}=8\quad\text{rad/m}, \quad \omega_0=\frac{16{,}01+15{,}99}{2}=16\quad\text{rad/s},
então a velocidade de fase é
v_{\mathrm{f}} =\frac{\omega_0}{k_0} =\frac{16}{8} =2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para a velocidade de grupo usamos
\Delta k=k_1-k_2=8{,}2-7{,}8=0{,}4\\ \text{rad/m}, \quad \Delta\omega=\omega_1-\omega_2=16{,}01-15{,}99=0{,}02\\ \text{rad/s},
logo
v_{\mathrm{g}} =\frac{\Delta\omega}{\Delta k} =\frac{0{,}02}{0{,}4} =0{,}05\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade de fase da onda resultante é 2\\ \mathrm{m/s} e a velocidade de grupo é 0{,}05\\ \mathrm{m/s}.

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