Questão 54.

Um carrinho de compras com massa de 16 kg está sendo empurrado a velocidade constante acima de uma rampa de 12^{\circ} por uma força F_{p} que atua em um ângulo de 17^{\circ} abaixo da horizontal. Encontre o trabalho realizado por cada uma das forças ( m \vec{g}, \vec{F}_{N}, \vec{F}_{P} ) no carrinho se a rampa tem 7,5 \mathrm{~m} de comprimento.

Passo 1

O enunciado descreve um carrinho de massa m=16 kg que sobe em velocidade constante um plano inclinado de comprimento d=7,5 m e ângulo \theta=12^\circ acima da horizontal. A força de empurrar \vec{F}_P atua num ângulo de 17^\circ abaixo da horizontal. Precisamos calcular o trabalho de três forças constantes ao longo do deslocamento:
1. peso \vec{F}_g=m\vec{g},
2. normal \vec{N},
3. força de empuxo \vec{F}_P.
Usamos a definição de trabalho para força constante
W = \vec{F}\cdot \vec{d} = F\,d\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre a força e o deslocamento.

Passo 2

Trabalho da força peso \vec{F}_g.
A componente de \vec{F}_g ao longo do plano inclinado é
F_{g,\parallel} = -mg\sin\theta
(o sinal negativo indica que a força peso aponta para baixo do plano). Então
W_g = F_{g,\parallel}\,d = -mg\sin\theta\;d.
Substituindo m=16 kg, g=9,8 m/s ^2, \theta=12^\circ e d=7,5 m,
W_g = -\bigl(16\cdot9,8\bigr)\sin(12^\circ)\cdot7,5 \approx -244,6\text{ J}.

Passo 3

Trabalho da força normal \vec{N}.
A normal é perpendicular ao plano, portanto perpendicular ao deslocamento. Logo
W_N = N\,d\,\cos(90^\circ) = 0.

Passo 4

Trabalho da força de empurrar \vec{F}_P.
Como o movimento é uniforme, a componente de \vec{F}_P ao longo do plano must equilibrar mg\sin\theta. Seja \varphi o ângulo entre a direção de \vec{F}_P e a direção do plano: o empuxo faz -17^\circ em relação à horizontal e o plano faz +12^\circ, então
\varphi = 12^\circ - (-17^\circ) = 29^\circ.
A projeção de \vec{F}_P no deslocamento é F_P\cos\varphi. Do equilíbrio:
F_P\cos\varphi = mg\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad F_P = \frac{mg\sin\theta}{\cos\varphi}.
O trabalho é
W_P = F_P\,d\,\cos\varphi = (mg\sin\theta)\,d \approx +244,6\text{ J}.

Resposta

W_g\approx -244{,}6\text{ J} W_N = 0 W_P\approx +244{,}6\text{ J}

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