Questão 56. (Menor múltiplo comum - mmc) Sejam
um domínio e
. Um elemento
é um menor múltiplo comum de
, notação:
, se são satisfeitas:
i.
.
ii. Se
, então
.
Mostre que se
é um domínio e
, então:
(I)
.
i.
ii. Se
(I)
Passo 1
O enunciado está em um domínio de integridade
. Dados
, definimos o menor múltiplo comum
pelas condições:
-
para todo . - Se
para todo , então .
Queremos provar a equivalência
Aqui usamos a correspondência entre divisibilidade e inclusão de ideais principais: em domínio de integridade,
Passo 2
Suponha primeiro que
. Vamos mostrar
.
a) Se , então existe
tal que
. Como
para todo
, escrevemos
e daí
a) Se
logo
. Como vale para todo
,
. Assim
b) Agora seja
. Então
para todo
. Pela propriedade minimalidade de
, vem
. Assim existe
com
, o que significa
. Portanto
Com as duas inclusões, concluímos
Passo 3
Reciprocamente, suponha
. Precisamos checar as duas condições de
ser
.
- Como
e , segue para todo . Logo . - Se um elemento
satisfaz para todo , então para cada , isto é, . Portanto .
Assimsatisfaz exatamente as condições de ser .
Resposta
Ficou demonstrado que