Questão 54 Encontre [A]_{\beta}, onde A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right) e \beta=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\right\} é uma base de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
na base
\beta=\bigl\{B_1,B_2,B_3,B_4\bigr\},
onde
B_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B_2=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B_3=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad B_4=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
O que precisamos fazer é escrever
A = c_1B_1 + c_2B_2 + c_3B_3 + c_4B_4
e determinar c_1,c_2,c_3,c_4.

Passo 2

Calculando o lado direito temos
c_1\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} + c_4\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1+c_2+c_3+c_4 & c_2+c_3+c_4\\\ c_3+c_4 & c_4 \end{pmatrix}.
Igualando essa matriz a A surge o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 1,\\\ c_2 + c_3 + c_4 = 2,\\\ c_3 + c_4 = 3,\\\ c_4 = 4. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo por retro-substituição: da última equação vem
c_4 = 4.
Então c_3 + 4 = 3 implica
c_3 = -1.
Substituindo em c_2 + c_3 + c_4 = 2 obtemos
c_2 -1 +4 = 2\quad\Longrightarrow\quad c_2 = -1.
Finalmente, em c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 1 temos
c_1 -1 -1 +4 = 1\quad\Longrightarrow\quad c_1 = -1.

Resposta

[A]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\\\ 4\end{pmatrix}.

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