Questão 56. (Menor múltiplo comum - mmc) Sejam
um domínio e
. Um elemento
é um menor múltiplo comum de
, notação:
, se são satisfeitas:
i.
.
ii. Se
, então
.
Mostre que se
é um domínio e
, então:
(II) Se
existe, então
existe para todo
) e
.
i.
ii. Se
(II) Se
Passo 1
O enunciado define um domínio
e elementos
. Supondo que
exista, queremos mostrar que, para todo
, o elemento
é o menor múltiplo comum de
, isto é, que satisfaz as duas condições de mmc.
Passo 2
Primeiro verificamos que
é múltiplo comum de
. De fato, como
, existe
tal que
Multiplicando por
, obtemos
logo
para todo
.
Passo 3
Agora mostramos a propriedade de minimalidade: se
para todo
, então
. De
segue que existe
com
Assim cada
é múltiplo de todos
, então pelo caráter minimal de
temos
. Portanto existe
tal que
e daí
ou seja,
.
Passo 4
Concluímos que
satisfaz as duas condições de mmc para os elementos
. Logo