Questão 56. A ordenada na origem, da reta tangente a um ponto qualquer de uma curva y=y(x) é 2 x y^{2}. Determine a curva.(Resp. y=\frac{x}{C+x^{2}} )

Passo 1

O enunciado diz que, para a curva y=y(x), a reta tangente em um ponto (x,y) intercepta o eixo y em
b=2\,x\,y^{2}.
Sabendo que a equação da tangente no ponto (x,y) é
y_{\text{t}}-y = y'(x)\,(x_{\text{t}}-x),
vamos usar esse fato para obter uma equação diferencial para y(x). O conteúdo necessário é o cálculo de derivadas e resolução de equações de Bernoulli.

Passo 2

Em x_{\text{t}}=0 a ordenada da tangente é
b = y - y'\,x.
Pelo enunciado, isso vale 2\,x\,y^{2}. Logo,
y - x\,y' = 2\,x\,y^{2}.
Dessa relação isolamos y':
y' = \frac{y - 2\,x\,y^{2}}{x}.

Passo 3

Reescrevendo \displaystyle y' = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - 2\,y^{2}.
Colocando na forma padrão de Bernoulli,
\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}\,y = -2\,y^{2}.

Passo 4

Para resolver, usamos a substituição típica de Bernoulli quando o expoente é 2: definimos
v = y^{-1}.
Calculamos
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}-2y^{2} e y=1/v, obtemos
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\Bigl(\frac{y}{x}-2y^{2}\Bigr) = -\frac{1}{y\,x}+2 = -\frac{v}{x}+2.
Logo a equação para v é
\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x}\,v = 2,
que é linear em v.

Passo 5

O fator integrante é \mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}dx}=x. Multiplicando:
x\frac{dv}{dx} + v = 2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(xv\bigr)=2x.
Integrando ambos os lados:
xv = \int 2x\,dx = x^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad v = x + \frac{C}{x}.

Passo 6

Voltando à variável y, temos y=1/v. Portanto
y(x) = \frac{1}{\,x + \frac{C}{x}\,} = \frac{x}{\,x^{2}+C\,}.

Resposta

y = \frac{x}{C + x^{2}}.

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