Questão 56. A ordenada na origem, da reta tangente a um ponto qualquer de uma curva
é
. Determine a curva.(Resp.
)
Passo 1
O enunciado diz que, para a curva
, a reta tangente em um ponto
intercepta o eixo
em
Sabendo que a equação da tangente no ponto
é
vamos usar esse fato para obter uma equação diferencial para
. O conteúdo necessário é o cálculo de derivadas e resolução de equações de Bernoulli.
Passo 2
Em
a ordenada da tangente é
Pelo enunciado, isso vale
. Logo,
Dessa relação isolamos
:
Passo 3
Reescrevendo
, temos
Colocando na forma padrão de Bernoulli,
Passo 4
Para resolver, usamos a substituição típica de Bernoulli quando o expoente é 2: definimos
Calculamos
Substituindo
e
, obtemos
Logo a equação para
é
que é linear em
.
Passo 5
O fator integrante é
. Multiplicando:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Voltando à variável
, temos
. Portanto