Escrever a equação diferencial para uma função
satisfazendo a seguinte condição:
A área limitada pelo arco de uma curva, o eixo-x, e duas ordenadas, uma fixa e outra variável, é igual ao dobro do comprimento do arco situado entre as ordenadas.
A área limitada pelo arco de uma curva, o eixo-x, e duas ordenadas, uma fixa e outra variável, é igual ao dobro do comprimento do arco situado entre as ordenadas.
Passo 1
O enunciado pede a equação diferencial para a curva
tal que a área
limitada pelo arco da curva, o eixo-
e as verticais em
(fixa) e
(variável) seja igual ao dobro do comprimento de arco
entre essas mesmas verticais. Vamos usar a expressão de área e de comprimento de arco em termos de integrais e depois diferenciar para obter a ODE.
Passo 2
A área desde
até
é
e o comprimento de arco é
Passo 3
A condição dada é
Passo 4
Diferenciando ambos os lados em relação a
, usando que
, obtemos
logo
Passo 5
Essa é a forma implícita da equação diferencial. Podemos também elevar ao quadrado para obter
que equivale a
Resposta
A equação diferencial que satisfaz a condição é
ou, equivalentemente,