Escrever a equação diferencial para uma função y=y(x) satisfazendo a seguinte condição:
A área limitada pelo arco de uma curva, o eixo-x, e duas ordenadas, uma fixa e outra variável, é igual ao dobro do comprimento do arco situado entre as ordenadas.

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial para a curva y=y(x) tal que a área A(x) limitada pelo arco da curva, o eixo- x e as verticais em x=a (fixa) e x (variável) seja igual ao dobro do comprimento de arco L(x) entre essas mesmas verticais. Vamos usar a expressão de área e de comprimento de arco em termos de integrais e depois diferenciar para obter a ODE.

Passo 2

A área desde x=a até x é
A(x)=\int_{a}^{x}y(t)\,\mathrm{d}t,
e o comprimento de arco é
L(x)=\int_{a}^{x}\sqrt{1+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}t.

Passo 3

A condição dada é
A(x)=2\,L(x).

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando que \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t=f(x), obtemos
A'(x)=y(x), \quad L'(x)=\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}},
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y(x)=2\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}.

Passo 5

Essa é a forma implícita da equação diferencial. Podemos também elevar ao quadrado para obter
y^{2}=4\bigl(1+(y')^{2}\bigr),
que equivale a
(y')^{2}=\frac{y^{2}}{4}-1.

Resposta

A equação diferencial que satisfaz a condição é
y=2\sqrt{1+(y')^{2}},
ou, equivalentemente,
y^{2}=4\bigl(1+(y')^{2}\bigr).

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