Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
da equação
e
?
da equação
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas soluções inteiras existem para a equação
sujeita às restrições
onde
são inteiros. Vou listar as informações relevantes que o enunciado deu:
- A soma dos três inteiros é
. - Há limites mínimos:
não pode ser menor que , não pode ser menor que e não pode ser menor que . - A pergunta é quantas tripas
inteiras satisfazem tudo isso.
Passo 2
Transformação para variáveis sem restrição inferior (técnica padrão): se uma variável tem um limite mínimo, subtraímos esse mínimo para trabalhar com variáveis que podem ser
.
Defino novas variáveis:
Explico: como
, então
; análogo para
. Substituindo na equação original:
Agora simplifico o lado esquerdo:
Como
, obtemos
Portanto contei o problema original: ele é equivalente a contar o número de soluções em inteiros não negativos de
com
.
Passo 3
Agora preciso contar quantas soluções não-negativas inteiras existem para a soma de três variáveis ser
. Vou ensinar a fórmula e a ideia por trás dela (estilo “estrelas e barras”).
Fato útil (que usaremos): o número de soluções em inteiros não negativos da equação
é dado por
Explicação (intuitiva, com estrelas e barras):
- Pense em
“estrelas” que representam unidades a distribuir. - Para separar essas
unidades entre variáveis, colocam-se “barras” entre as estrelas: cada bloco de estrelas entre barras (ou antes da primeira barra / depois da última) conta para uma variável. - No total há
estrelas e barras, ou seja posições, e precisamos escolher em quais dessas posições ficam as barras. - Então o número de arranjos distintos é o número de maneiras de escolher
posições dentre , isto é .
Um pequeno exemplo concreto para fixar: se
e
, as soluções de
são
, que são
soluções — batendo com o raciocínio.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
(três variáveis
) e
. Logo o número de soluções é
Calculo direto:
Passo 5
Interpretação final rápida: existem
triplas inteiras
que satisfazem
com
,
e
. O procedimento para usar em prova é sempre: subtrair os mínimos para obter variáveis não-negativas, achar a soma restante e aplicar a fórmula de estrelas e barras.