Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
da equação x+y+z=16 \operatorname{com} x \geq 2, y \geq 3 e z \geq 4 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas soluções inteiras existem para a equação
x+y+z=16
sujeita às restrições
x\ge 2,\qquad y\ge 3,\qquad z\ge 4,
onde x,y,z são inteiros. Vou listar as informações relevantes que o enunciado deu:
  • A soma dos três inteiros é \;16.
  • Há limites mínimos: \;x não pode ser menor que 2, \;y não pode ser menor que 3 e \;z não pode ser menor que 4.
  • A pergunta é quantas tripas (x,y,z) inteiras satisfazem tudo isso.

Passo 2

Transformação para variáveis sem restrição inferior (técnica padrão): se uma variável tem um limite mínimo, subtraímos esse mínimo para trabalhar com variáveis que podem ser \ge0.
Defino novas variáveis:
x'=x-2,\qquad y'=y-3,\qquad z'=z-4.
Explico: como x\ge2, então x'\ge0; análogo para y',z'. Substituindo na equação original:
(x'+2)+(y'+3)+(z'+4)=16.
Agora simplifico o lado esquerdo:
x'+y'+z' + (2+3+4) = 16.
Como 2+3+4=9, obtemos
x'+y'+z' + 9 = 16 \quad\Rightarrow\quad x'+y'+z' = 7.
Portanto contei o problema original: ele é equivalente a contar o número de soluções em inteiros não negativos de
x'+y'+z' = 7,
com x',y',z'\ge0.

Passo 3

Agora preciso contar quantas soluções não-negativas inteiras existem para a soma de três variáveis ser 7. Vou ensinar a fórmula e a ideia por trás dela (estilo “estrelas e barras”).
Fato útil (que usaremos): o número de soluções em inteiros não negativos da equação
u_1+u_2+\cdots+u_k = N
é dado por
\binom{N+k-1}{k-1}.
Explicação (intuitiva, com estrelas e barras):
  • Pense em N “estrelas” (*) que representam unidades a distribuir.
  • Para separar essas N unidades entre k variáveis, colocam-se k-1 “barras” (|) entre as estrelas: cada bloco de estrelas entre barras (ou antes da primeira barra / depois da última) conta para uma variável.
  • No total há N estrelas e k-1 barras, ou seja N+k-1 posições, e precisamos escolher em quais k-1 dessas posições ficam as barras.
  • Então o número de arranjos distintos é o número de maneiras de escolher k-1 posições dentre N+k-1, isto é \binom{N+k-1}{k-1}.
Um pequeno exemplo concreto para fixar: se k=2 e N=3, as soluções de u_1+u_2=3 são (0,3),(1,2),(2,1),(3,0), que são \binom{3+2-1}{2-1}=\binom{4}{1}=4 soluções — batendo com o raciocínio.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui k=3 (três variáveis x',y',z') e N=7. Logo o número de soluções é
\binom{7+3-1}{3-1} = \binom{9}{2}.
Calculo direto:
\binom{9}{2}=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}=36.

Passo 5

Interpretação final rápida: existem 36 triplas inteiras (x,y,z) que satisfazem x+y+z=16 com x\ge2, y\ge3 e z\ge4. O procedimento para usar em prova é sempre: subtrair os mínimos para obter variáveis não-negativas, achar a soma restante e aplicar a fórmula de estrelas e barras.

Resposta

36

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