Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
não negativas da inequação
?
não negativas da inequação
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas são as soluções inteiras não negativas da inequação
?”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- As variáveis são
. - Cada uma deve ser um inteiro não negativo, ou seja
. - A condição é a desigualdade
.
O objetivo é contar quantas quádruplassatisfazem essa condição.
Passo 2
Truque padrão para essas contagens: transformar a desigualdade em uma igualdade adicionando uma variável “folga” (ou “slack”) que absorve o quanto falta até
. Defina uma nova variável
tal que
Como
e todas as variáveis são não negativas, tem-se
. Assim a condição é equivalente a
Ou seja, contar soluções da desigualdade original é o mesmo que contar soluções não negativas da equação acima com cinco variáveis.
Passo 3
Fórmula geral e intuição (explicação didática): para contar o número de soluções inteiras não negativas da equação
existe a fórmula conhecida por “stars and bars”:
Interpretação combinatória simples: pense em
estrelas (objetos idênticos) que devem ser distribuídas em
caixas (as variáveis). Para marcar as divisões entre caixas usa-se
barras. No total há
posições e basta escolher quais
dessas posições serão barras. Isso gera exatamente a combinação acima.
Exemplo concreto pequeno para fixar a ideia: para
e
(ou seja
), a fórmula dá
. As soluções são
— exatamente 4.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: já transformamos em uma equação com
variáveis
e
. Assim o número de soluções é
Agora calcular
sem calculadora, passo a passo:
Simplificando por cancelamento:
- divida
por para obter , - divida
por para obter , - divida
por para obter .
Ficamos com
Agora as multiplicações fáceis:
,
,
.
Passo 5
Conclusão: o número de soluções inteiras não negativas da inequação original é
. (Se quiser, outro caminho seria somar o número de soluções para cada soma
, e usar a identidade do “hockey-stick” para obter o mesmo resultado; mas o método do passo da folga é mais direto.)