Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
não negativas da inequação x+y+z+w \leq 7 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas são as soluções inteiras não negativas da inequação x+y+z+w \leq 7?”
Informações fornecidas:
  • As variáveis são x,y,z,w.
  • Cada uma deve ser um inteiro não negativo, ou seja x,y,z,w \in \mathbb{Z}_{\ge 0}.
  • A condição é a desigualdade \,x+y+z+w \leq 7\,.
    O objetivo é contar quantas quádruplas (x,y,z,w) satisfazem essa condição.

Passo 2

Truque padrão para essas contagens: transformar a desigualdade em uma igualdade adicionando uma variável “folga” (ou “slack”) que absorve o quanto falta até 7. Defina uma nova variável t tal que
t = 7 - (x+y+z+w).
Como x+y+z+w \le 7 e todas as variáveis são não negativas, tem-se t\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Assim a condição é equivalente a
x+y+z+w+t = 7, \qquad x,y,z,w,t \in \mathbb{Z}_{\ge 0}.
Ou seja, contar soluções da desigualdade original é o mesmo que contar soluções não negativas da equação acima com cinco variáveis.

Passo 3

Fórmula geral e intuição (explicação didática): para contar o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_1+x_2+\dots+x_n = r, \qquad x_i\in\mathbb{Z}_{\ge 0},
existe a fórmula conhecida por “stars and bars”:
\text{Número de soluções} = \binom{r+n-1}{n-1}.úçõ
Interpretação combinatória simples: pense em r estrelas (objetos idênticos) que devem ser distribuídas em n caixas (as variáveis). Para marcar as divisões entre caixas usa-se n-1 barras. No total há r+(n-1)=r+n-1 posições e basta escolher quais n-1 dessas posições serão barras. Isso gera exatamente a combinação acima.
Exemplo concreto pequeno para fixar a ideia: para r=3 e n=2 (ou seja x_1+x_2=3), a fórmula dá \binom{3+2-1}{2-1}=\binom{4}{1}=4. As soluções são (0,3),(1,2),(2,1),(3,0) — exatamente 4.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: já transformamos em uma equação com n=5 variáveis (x,y,z,w,t) e r=7. Assim o número de soluções é
\binom{7+5-1}{5-1}=\binom{11}{4}.
Agora calcular \binom{11}{4} sem calculadora, passo a passo:
\binom{11}{4}=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.
Simplificando por cancelamento:
  • divida 8 por 4 para obter 2,
  • divida 10 por 2 para obter 5,
  • divida 9 por 3 para obter 3.
    Ficamos com
11\cdot 5\cdot 3\cdot 2.
Agora as multiplicações fáceis: 11\cdot5=55, 55\cdot3=165, 165\cdot2=330.

Passo 5

Conclusão: o número de soluções inteiras não negativas da inequação original é 330. (Se quiser, outro caminho seria somar o número de soluções para cada soma s=0,1,\dots,7, e usar a identidade do “hockey-stick” para obter o mesmo resultado; mas o método do passo da folga é mais direto.)

Resposta

330

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