Questão 57. De quantos modos podemos comprar 4 refrigerantes em uma lanchonete que os oferece em 7 tipos de refrigerantes?

Passo 1

O enunciado dá que há 7 tipos diferentes de refrigerante e que queremos comprar exatamente 4 refrigerantes. A pergunta é: “De quantos modos diferentes podemos fazer essa compra?”
Informações relevantes:
  • Número de tipos disponíveis: n = 7.
  • Número de refrigerantes a comprar: k = 4.
  • Assumo que a ordem em que os refrigerantes são comprados NÃO importa (ou seja, só importa quantos de cada tipo foram escolhidos) e que é permitido repetir tipos (posso comprar, por exemplo, quatro do mesmo tipo).

Passo 2

Modelagem do problema (idéia básica):
Como a ordem não importa e repetições são permitidas, o problema equivale a distribuir k=4 objetos idênticos (as unidades de refrigerante) em n=7 caixas distintas (os tipos). Em combinatória isso é o clássico problema de combinações com repetição.

Passo 3

Apresentação da fórmula e significado das variáveis:
A fórmula para o número de combinações com repetição de k objetos entre n tipos é
\binom{n+k-1}{k},
onde:
  • n é o número de tipos (aqui 7),
  • k é o número de itens a escolher (aqui 4),
  • \binom{a}{b} é o coeficiente binomial “a escolhe b”.
Vou agora justificar essa fórmula de forma intuitiva (método das “estrelas e barras”).

Passo 4

Demonstração por “estrelas e barras” (explicação passo a passo):
Represente cada refrigerante comprado por uma estrela \ast. Como são 4 refrigerantes, teremos 4 estrelas:
\ast\\ \ast\\ \ast\\ \ast
Para separar os 7 tipos usamos 6 barras (separadores) entre categorias diferentes. Por exemplo, se escrevemos uma sequência com 4 estrelas e 6 barras, cada segmento entre barras indica quantos refrigerantes daquele tipo foram escolhidos.
Exemplo rápido de configuração:
\ast\\ \ast\\ |\\ \ast\\ |\\ |\\ |\\ \ast\\ |\\ |
Significa: 2 do tipo 1, 1 do tipo 2, 0 do tipo 3, 0 do tipo 4, 1 do tipo 5, 0 do tipo 6, 0 do tipo 7 — total 4 unidades.
Observação: qualquer escolha válida corresponde a uma sequência formada por 4 estrelas e 6 barras, portanto o número de escolhas é o número de sequências distintas formadas por 4 estrelas e 6 barras. O total de símbolos é 4+6=10. Escolher uma sequência é o mesmo que escolher as posições das 4 estrelas (ou, alternativamente, das 6 barras) entre as 10 posições.
Logo o número de sequências possíveis é
\binom{10}{4} = \binom{10}{6}.

Passo 5

Cálculo do coeficiente binomial \binom{10}{4}:
Definição:
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!\,6!}.
Calcule passo a passo sem calculadora:
\binom{10}{4} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{(4\cdot3\cdot2\cdot1)\cdot6!} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Simplificando:
4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24,
10\cdot9\cdot8\cdot7 = 5040,
\frac{5040}{24} = 210.

Passo 6

Verificação por exemplo pequeno (para fixar a ideia):
Se houvesse n=2 tipos e k=3 refrigerantes, a fórmula dá
\binom{2+3-1}{3}=\binom{4}{3}=4.
Podemos listar as possibilidades: (3,0),(2,1),(1,2),(0,3) — exatamente 4 maneiras. Isso confirma que a interpretação estrelas-e-barras está consistente.

Resposta

210

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