Questão 57. De quantos modos podemos comprar 4 refrigerantes em uma lanchonete que os oferece em 7 tipos de refrigerantes?
Passo 1
O enunciado dá que há
tipos diferentes de refrigerante e que queremos comprar exatamente
refrigerantes. A pergunta é: “De quantos modos diferentes podemos fazer essa compra?”
Informações relevantes:
- Número de tipos disponíveis:
. - Número de refrigerantes a comprar:
. - Assumo que a ordem em que os refrigerantes são comprados NÃO importa (ou seja, só importa quantos de cada tipo foram escolhidos) e que é permitido repetir tipos (posso comprar, por exemplo, quatro do mesmo tipo).
Passo 2
Modelagem do problema (idéia básica):
Como a ordem não importa e repetições são permitidas, o problema equivale a distribuir objetos idênticos (as unidades de refrigerante) em
caixas distintas (os tipos). Em combinatória isso é o clássico problema de combinações com repetição.
Como a ordem não importa e repetições são permitidas, o problema equivale a distribuir
Passo 3
Apresentação da fórmula e significado das variáveis:
A fórmula para o número de combinações com repetição de objetos entre
tipos é
A fórmula para o número de combinações com repetição de
onde:
-
é o número de tipos (aqui ), -
é o número de itens a escolher (aqui ), -
é o coeficiente binomial “a escolhe b”.
Vou agora justificar essa fórmula de forma intuitiva (método das “estrelas e barras”).
Passo 4
Demonstração por “estrelas e barras” (explicação passo a passo):
Represente cada refrigerante comprado por uma estrela . Como são
refrigerantes, teremos
estrelas:
Represente cada refrigerante comprado por uma estrela
Para separar os
tipos usamos
barras (separadores) entre categorias diferentes. Por exemplo, se escrevemos uma sequência com
estrelas e
barras, cada segmento entre barras indica quantos refrigerantes daquele tipo foram escolhidos.
Exemplo rápido de configuração:
Significa: 2 do tipo 1, 1 do tipo 2, 0 do tipo 3, 0 do tipo 4, 1 do tipo 5, 0 do tipo 6, 0 do tipo 7 — total 4 unidades.
Observação: qualquer escolha válida corresponde a uma sequência formada por
estrelas e
barras, portanto o número de escolhas é o número de sequências distintas formadas por
estrelas e
barras. O total de símbolos é
. Escolher uma sequência é o mesmo que escolher as posições das
estrelas (ou, alternativamente, das
barras) entre as
posições.
Logo o número de sequências possíveis é
Passo 5
Cálculo do coeficiente binomial
:
Definição:
Definição:
Calcule passo a passo sem calculadora:
Simplificando:
Passo 6
Verificação por exemplo pequeno (para fixar a ideia):
Se houvesse tipos e
refrigerantes, a fórmula dá
Se houvesse
Podemos listar as possibilidades:
— exatamente
maneiras. Isso confirma que a interpretação estrelas-e-barras está consistente.