Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
não negativas da equação
?
não negativas da equação
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas são as soluções inteiras não negativas da equação
.
Informações dadas (e o que isso significa):
Informações dadas (e o que isso significa):
- As incógnitas são
. - Cada uma deve ser um inteiro não negativo, isto é,
. - A soma dos quatro números deve ser igual a
.
O objetivo é obter o número total de quádruplas
que satisfazem essas condições.
Passo 2
Interpretação combinatória (ideia-chave que vamos usar). Pense em ter
bolas indistinguíveis (as unidades a somar) e
caixas distintas (correspondendo a
). Colocar
bolas na caixa
significa escolher
unidades para
, e assim por diante. Assim cada distribuição das
bolas nas 4 caixas corresponde exatamente a uma solução da equação com componentes não negativos, e vice‑versa.
Para contar distribuições de
bolas idênticas em
caixas distintas usamos o método chamado “estrelas e barras” (stars and bars). A construção visual é assim:
- Escrevemos
estrelas em sequência, cada estrela representa uma unidade. - Para separar as 4 caixas colocamos
barras entre as estrelas (ou nas extremidades). Por exemplo, a configuração
significa
.
Qualquer solução corresponde a uma sequência de
estrelas e
barras, total de
símbolos, onde escolhemos quais
posições dos
serão ocupadas pelas barras (o restante serão estrelas). Portanto o número de configurações é o número de maneiras de escolher
posições entre
, isto é
.
Essa ideia generaliza: o número de soluções inteiras não negativas de
é
onde
é o total a distribuir e
o número de variáveis/caixas. Aqui
e
, por isso usamos
.
Passo 3
Agora calcular
passo a passo. Pela definição
Simplificando:
-
. -
.
Logo
Passo 4
Interpretação final e checagem rápida: existem
maneiras de distribuir
unidades entre
variáveis não negativas. Como verificação mental, poderia também contar escolhendo as posições das
estrelas entre
(que dá
), e lembrando que
, chega-se ao mesmo resultado.
Resposta
120