Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
não negativas da equação x+y+z+w=7 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas são as soluções inteiras não negativas da equação \,x+y+z+w=7\,.
Informações dadas (e o que isso significa):
  • As incógnitas são x,\;y,\;z,\;w.
  • Cada uma deve ser um inteiro não negativo, isto é, x,y,z,w\in\{0,1,2,\dots\}.
  • A soma dos quatro números deve ser igual a 7.
O objetivo é obter o número total de quádruplas (x,y,z,w) que satisfazem essas condições.

Passo 2

Interpretação combinatória (ideia-chave que vamos usar). Pense em ter 7 bolas indistinguíveis (as unidades a somar) e 4 caixas distintas (correspondendo a x,y,z,w). Colocar k bolas na caixa x significa escolher x unidades para x, e assim por diante. Assim cada distribuição das 7 bolas nas 4 caixas corresponde exatamente a uma solução da equação com componentes não negativos, e vice‑versa.
Para contar distribuições de 7 bolas idênticas em 4 caixas distintas usamos o método chamado “estrelas e barras” (stars and bars). A construção visual é assim:
  • Escrevemos 7 estrelas * em sequência, cada estrela representa uma unidade.
  • Para separar as 4 caixas colocamos 3 barras | entre as estrelas (ou nas extremidades). Por exemplo, a configuração
* *\;|\;*\;|\;|\;* * *
significa x=2,\;y=1,\;z=0,\;w=4.
Qualquer solução corresponde a uma sequência de 7 estrelas e 3 barras, total de 7+3=10 símbolos, onde escolhemos quais 3 posições dos 10 serão ocupadas pelas barras (o restante serão estrelas). Portanto o número de configurações é o número de maneiras de escolher 3 posições entre 10, isto é \binom{10}{3}.
Essa ideia generaliza: o número de soluções inteiras não negativas de
x_1+x_2+\dots+x_k=n
é
\binom{n+k-1}{k-1},
onde n é o total a distribuir e k o número de variáveis/caixas. Aqui n=7 e k=4, por isso usamos \binom{7+4-1}{4-1}=\binom{10}{3}.

Passo 3

Agora calcular \binom{10}{3} passo a passo. Pela definição
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{(3\cdot2\cdot1)\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Simplificando:
  • 3\cdot2\cdot1=6.
  • 10\cdot9\cdot8=720.
    Logo
\binom{10}{3}=\frac{720}{6}=120.

Passo 4

Interpretação final e checagem rápida: existem 120 maneiras de distribuir 7 unidades entre 4 variáveis não negativas. Como verificação mental, poderia também contar escolhendo as posições das 7 estrelas entre 10 (que dá \binom{10}{7}), e lembrando que \binom{10}{7}=\binom{10}{3}, chega-se ao mesmo resultado.

Resposta

120

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