Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
positivas da equação
?
positivas da equação
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas soluções inteiras positivas existem para a equação
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- As incógnitas são
. - Cada variável deve ser um inteiro positivo, ou seja
e . - A equação a satisfazer é
. - A pergunta: “Quantas são as soluções inteiras positivas?” — ou seja, contar o número de 4-uplas
que satisfazem as condições acima.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando pedem contar soluções inteiras positivas de uma soma fixa, é útil transformar o problema em um problema equivalente com variáveis inteiras não negativas e então usar o princípio de “stars and bars” (estrelas e barras), que é uma técnica combinatória básica para distribuir objetos indistinguíveis em caixas. Vou mostrar passo a passo essa transformação, porque assim dá para aplicar uma fórmula simples e confiar no raciocínio na prova.
Quando pedem contar soluções inteiras positivas de uma soma fixa, é útil transformar o problema em um problema equivalente com variáveis inteiras não negativas e então usar o princípio de “stars and bars” (estrelas e barras), que é uma técnica combinatória básica para distribuir objetos indistinguíveis em caixas. Vou mostrar passo a passo essa transformação, porque assim dá para aplicar uma fórmula simples e confiar no raciocínio na prova.
Passo 3
Transformação para variáveis não negativas:
Como cada deve ser
, podemos definir novas variáveis que sejam
. Defina
Como cada
Cada
é inteiro não negativo (
). Substituindo na equação original:
portanto
Agora o problema equivalente é: contar o número de soluções em inteiros não negativos de
.
Passo 4
Lema/comentário sobre contagem (fórmula e razão):
O número de soluções em inteiros não negativos da equação
O número de soluções em inteiros não negativos da equação
é dado por
Explicação intuitiva (estrelas e barras): imagine
estrelas alinhadas representando as unidades a distribuir e
barras para separar as
variáveis. Cada arranjo distinto de estrelas e barras corresponde a uma distribuição diferente das unidades entre as
variáveis. No total há
posições e precisamos escolher quais
delas terão barras, o que dá
.
Passo 5
Aplicação da fórmula ao nosso caso:
Aqui e
. Logo o número de soluções não negativas de
é
Aqui
Calculemos
usando a definição de coeficiente binomial:
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida:
Cada solução dá uma solução positiva
. Como contamos
soluções para os
, há exatamente
soluções inteiras positivas para a equação original. Vai dar certo na prova: transforma em não negativas, aplica
e calcula.
Cada solução