Questão 56. Quantas são as soluções inteiras:
positivas da equação x+y+z+w=7 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas soluções inteiras positivas existem para a equação \;x+y+z+w=7\;.
Informações dadas e o que é pedido:
  • As incógnitas são x,\;y,\;z,\;w.
  • Cada variável deve ser um inteiro positivo, ou seja \;x,y,z,w\in\mathbb{Z} e \;x\ge1,\;y\ge1,\;z\ge1,\;w\ge1.
  • A equação a satisfazer é \;x+y+z+w=7.
  • A pergunta: “Quantas são as soluções inteiras positivas?” — ou seja, contar o número de 4-uplas (x,y,z,w) que satisfazem as condições acima.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando pedem contar soluções inteiras positivas de uma soma fixa, é útil transformar o problema em um problema equivalente com variáveis inteiras não negativas e então usar o princípio de “stars and bars” (estrelas e barras), que é uma técnica combinatória básica para distribuir objetos indistinguíveis em caixas. Vou mostrar passo a passo essa transformação, porque assim dá para aplicar uma fórmula simples e confiar no raciocínio na prova.

Passo 3

Transformação para variáveis não negativas:
Como cada x,y,z,w deve ser \ge1, podemos definir novas variáveis que sejam \ge0. Defina
y_1 = x-1,\qquad y_2 = y-1,\qquad y_3 = z-1,\qquad y_4 = w-1.
Cada y_i é inteiro não negativo ( y_i\ge0). Substituindo na equação original:
(x-1)+(y-1)+(z-1)+(w-1)=7-4,
portanto
y_1+y_2+y_3+y_4=3.
Agora o problema equivalente é: contar o número de soluções em inteiros não negativos de \;y_1+y_2+y_3+y_4=3.

Passo 4

Lema/comentário sobre contagem (fórmula e razão):
O número de soluções em inteiros não negativos da equação
y_1+y_2+\dots+y_k = n
é dado por
\binom{n+k-1}{k-1}.
Explicação intuitiva (estrelas e barras): imagine n estrelas alinhadas representando as unidades a distribuir e k-1 barras para separar as k variáveis. Cada arranjo distinto de estrelas e barras corresponde a uma distribuição diferente das unidades entre as k variáveis. No total há n+(k-1) posições e precisamos escolher quais k-1 delas terão barras, o que dá \binom{n+k-1}{k-1}.

Passo 5

Aplicação da fórmula ao nosso caso:
Aqui n=3 e k=4. Logo o número de soluções não negativas de \;y_1+y_2+y_3+y_4=3 é
\binom{3+4-1}{4-1}=\binom{6}{3}.
Calculemos \binom{6}{3} usando a definição de coeficiente binomial:
\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=\;20.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida:
Cada solução (y_1,y_2,y_3,y_4) dá uma solução positiva (x,y,z,w)=(y_1+1,y_2+1,y_3+1,y_4+1). Como contamos \;20 soluções para os y_i, há exatamente \;20 soluções inteiras positivas para a equação original. Vai dar certo na prova: transforma em não negativas, aplica \binom{n+k-1}{k-1} e calcula.

Resposta

20

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