Questão 59. As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. De quantos modos é possível escolher os dias das provas de modo que não haja provas em dias consecutivos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Três provas devem ser realizadas na primeira semana do ano, ou seja, em
dias consecutivos (os dias são ). - Queremos escolher os dias em que serão aplicadas as
provas. - Restrição: não pode haver provas em dias consecutivos (ou seja, se há prova em
não pode haver em ).
Pergunta: De quantos modos é possível escolher os
dias obedecendo à restrição de não consecutividade?
Passo 2
Para organizar a contagem, represento uma escolha válida por três números inteiros
com
e a condição de não consecutividade escrita como
Aqui
é o dia da primeira prova,
o dia da segunda e
o dia da terceira, em ordem crescente. Escrevi bem explicitamente as desigualdades para deixar claro o que significa “não consecutivos”.
Passo 3
Agora faço uma transformação que simplifica as desigualdades. Defino novas variáveis
Vamos ver por que isso ajuda: subtraindo
de cada
“anula” a necessidade do espaçamento mínimo entre eles. Substituindo nas desigualdades:
- Como
temos . - A condição
vira
ou seja
.
- Similarmente
vira .
Além disso, comoobtemos
Portanto as
satisfazem
Passo 4
A observação anterior mostra que existe uma correspondência biunívoca entre escolhas válidas
em
sem consecutivos e escolhas estritamente crescentes
em
. Assim o problema se reduz a contar quantos subconjuntos de tamanho
existem no conjunto
.
O número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
é dado pelo coeficiente binomial
Passo 5
Lembro rapidamente como calcular o binomial caso precise na prova:
, onde
(fatorial de
) é
. Então
Passo 6
Para ficar bem concreto, posso mostrar as
escolhas de dias (volto das
para as
usando
):
Cada uma respeita a condição de não ter dias consecutivos, e são exatamente conjuntos.
Cada uma respeita a condição de não ter dias consecutivos, e são exatamente
Passo 7
Resumo prático para a prova: sempre que precisar escolher
posições entre
sem que duas escolhidas sejam adjacentes, pode usar a fórmula
Aqui
e
, logo
.
Resposta
10