Questão 59. As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. De quantos modos é possível escolher os dias das provas de modo que não haja provas em dias consecutivos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Três provas devem ser realizadas na primeira semana do ano, ou seja, em 7 dias consecutivos (os dias são \{1,2,3,4,5,6,7\}).
  • Queremos escolher os dias em que serão aplicadas as 3 provas.
  • Restrição: não pode haver provas em dias consecutivos (ou seja, se há prova em i não pode haver em i+1).
Pergunta: De quantos modos é possível escolher os 3 dias obedecendo à restrição de não consecutividade?

Passo 2

Para organizar a contagem, represento uma escolha válida por três números inteiros
a_1<a_2<a_3
com a_i\in\{1,2,\dots,7\} e a condição de não consecutividade escrita como
a_{2}-a_{1}\ge2,\qquad a_{3}-a_{2}\ge2.
Aqui a_1 é o dia da primeira prova, a_2 o dia da segunda e a_3 o dia da terceira, em ordem crescente. Escrevi bem explicitamente as desigualdades para deixar claro o que significa “não consecutivos”.

Passo 3

Agora faço uma transformação que simplifica as desigualdades. Defino novas variáveis
b_i = a_i - (i-1)\quad\text{para }i=1,2,3.
Vamos ver por que isso ajuda: subtraindo (i-1) de cada a_i “anula” a necessidade do espaçamento mínimo entre eles. Substituindo nas desigualdades:
  • Como a_1\ge1 temos b_1\ge1.
  • A condição a_{2}-a_{1}\ge2 vira
(b_2+1)-(b_1)\ge2 \quad\Longrightarrow\quad b_2-b_1\ge1,
ou seja b_2>b_1.
  • Similarmente a_{3}-a_{2}\ge2 vira b_3>b_2.
    Além disso, como a_3\le7 obtemos
b_3 = a_3-2 \le 7-2 = 5.
Portanto as b_i satisfazem
1\le b_1 < b_2 < b_3 \le 5.

Passo 4

A observação anterior mostra que existe uma correspondência biunívoca entre escolhas válidas (a_1,a_2,a_3) em \{1,\dots,7\} sem consecutivos e escolhas estritamente crescentes (b_1,b_2,b_3) em \{1,\dots,5\}. Assim o problema se reduz a contar quantos subconjuntos de tamanho 3 existem no conjunto \{1,2,3,4,5\}.
O número de maneiras de escolher 3 elementos de um conjunto de 5 é dado pelo coeficiente binomial
\binom{5}{3}.

Passo 5

Lembro rapidamente como calcular o binomial caso precise na prova: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdots1. Então
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2\cdot1}=\frac{5\cdot4}{2}=10.

Passo 6

Para ficar bem concreto, posso mostrar as 10 escolhas de dias (volto das b para as a usando a_i=b_i+(i-1)):
\{1,3,5\},\\ \{1,3,6\},\\ \{1,3,7\},\\ \{1,4,6\},\\ \{1,4,7\},\\ \{1,5,7\},\\ \{2,4,6\},\\ \{2,4,7\},\\ \{2,5,7\},\\ \{3,5,7\}.
Cada uma respeita a condição de não ter dias consecutivos, e são exatamente 10 conjuntos.

Passo 7

Resumo prático para a prova: sempre que precisar escolher k posições entre n sem que duas escolhidas sejam adjacentes, pode usar a fórmula
\binom{n-k+1}{k}.
Aqui n=7 e k=3, logo \binom{7-3+1}{3}=\binom{5}{3}=10.

Resposta

10

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