Questăo 1 (42 pts)
Considere as variáveis aleatórias continuas: Y_{i}= tempo de atendimento (em minutos) de um cliente por um atendente específico. T= duração total de uma intervenção técnica urgente. Dados atualizados indicam que:
Y_{i} \sim N\left(6,0 \mathrm{~min} ;(0,6 \mathrm{~min})^{2}\right), \quad T \sim N\left(20,0 \mathrm{~min} ;(1,5 \mathrm{~min})^{2}\right) .
Se os tempos são independentes, qual a probabilidade de que a soma dos tempos de trés atendimentos seja menor que a duraçāo total da intervençāo técnica?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a soma dos tempos de três atendimentos seja menor que a duração total da intervenção técnica. Informações fornecidas (peguei os números do enunciado):
  • Cada tempo de atendimento Y_i tem distribuição normal com média 6,0 minutos e desvio-padrão 0,6 minuto, isto é
Y_i \sim N\bigl(6,0;(0,6)^2\bigr).
  • A duração total T tem distribuição normal com média 20,0 minutos e desvio-padrão 1,5 minuto, isto é
T \sim N\bigl(20,0;(1,5)^2\bigr).
  • Os tempos são independentes.
    A pergunta explícita: calcular \Pr\bigl(Y_1+Y_2+Y_3 < T\bigr).

Passo 2

Definir a soma dos três atendimentos e entender suas propriedades. Seja
S = Y_1 + Y_2 + Y_3.
Como os Y_i são independentes e cada um é normal, a soma S também é normal. Para uma soma de variáveis normais independentes:
  • a média soma-se: \mathbb{E}[S]=\mathbb{E}[Y_1]+\mathbb{E}[Y_2]+\mathbb{E}[Y_3];
  • a variância soma-se: \operatorname{Var}(S)=\operatorname{Var}(Y_1)+\operatorname{Var}(Y_2)+\operatorname{Var}(Y_3).
    Vou calcular média e variância de S.

Passo 3

Calcular a média e a variância de S.
  • Médias: cada \mathbb{E}[Y_i]=6,0, logo
\mathbb{E}[S]=3\times 6,0 = 18,0.
  • Variâncias: cada \operatorname{Var}(Y_i)=(0,6)^2=0,36, logo
\operatorname{Var}(S)=3\times 0,36 = 1,08.
Portanto
S \sim N\bigl(18,0;\;1,08\bigr).

Passo 4

Expressar o evento pedido em termos de uma diferença e usar a propriedade de normais independentes. Queremos
\Pr(S < T) = \Pr(S-T < 0).
Defina D = S - T. Como S e T são independentes e ambos normais, D é normal com
  • média \mathbb{E}[D]=\mathbb{E}[S]-\mathbb{E}[T] = 18,0 - 20,0 = -2,0;
  • variância \operatorname{Var}(D)=\operatorname{Var}(S)+\operatorname{Var}(T) (a subtração não muda o sinal das variâncias), portanto
\operatorname{Var}(D)=1,08 + (1,5)^2 = 1,08 + 2,25 = 3,33.
O desvio-padrão de D é
\sigma_D = \sqrt{3,33} \approx 1,824.
Assim
D \sim N\bigl(-2,0;\;3,33\bigr).

Passo 5

Padronizar D para usar a tabela da normal padrão. Queremos
\Pr(S<T)=\Pr(D<0)=\Pr\!\left(\frac{D-\mathbb{E}[D]}{\sigma_D} < \frac{0-(-2,0)}{1,824}\right).
Calcular o valor de z:
z = \frac{0 - (-2,0)}{1,824} = \frac{2,0}{1,824} \approx 1,096.
Então
\Pr(S<T)=\Pr(Z < 1,096),
onde Z é uma normal padrão N(0,1).

Passo 6

Encontrar \Pr(Z<1,096) a partir da função de distribuição da normal padrão \Phi. Usando valores tabelados/interpolação entre \Phi(1,09) e \Phi(1,10):
\Phi(1,09)\approx 0,8621,\qquad \Phi(1,10)\approx 0,8643.
Interpolando para 1,096 (ou usando uma calculadora/soft), obtemos
\Phi(1,096)\approx 0,8634.
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0,8634.

Passo 7

Interpretação curta e ânimo: isso significa que, quando três atendimentos independentes têm média total 18 minutos e a intervenção dura em média 20 minutos com dispersões dadas, há cerca de 86{,}34\% de chance de que a soma dos três atendimentos seja menor que a duração da intervenção. Vai dar tudo certo na prova — já entendeu o método!

Resposta

0,8634

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