Questăo 1 (42 pts)
Considere as variáveis aleatórias continuas:
tempo de atendimento (em minutos) de um cliente por um atendente específico.
duração total de uma intervenção técnica urgente. Dados atualizados indicam que:
Se os tempos são independentes, qual a probabilidade de que a soma dos tempos de trés atendimentos seja menor que a duraçāo total da intervençāo técnica?
Considere as variáveis aleatórias continuas:
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a soma dos tempos de três atendimentos seja menor que a duração total da intervenção técnica. Informações fornecidas (peguei os números do enunciado):
- Cada tempo de atendimento
tem distribuição normal com média minutos e desvio-padrão minuto, isto é
- A duração total
tem distribuição normal com média minutos e desvio-padrão minuto, isto é
- Os tempos são independentes.
A pergunta explícita: calcular.
Passo 2
Definir a soma dos três atendimentos e entender suas propriedades. Seja
Como os
são independentes e cada um é normal, a soma
também é normal. Para uma soma de variáveis normais independentes:
- a média soma-se:
; - a variância soma-se:
.
Vou calcular média e variância de.
Passo 3
Calcular a média e a variância de
.
- Médias: cada
, logo
- Variâncias: cada
, logo
Portanto
Passo 4
Expressar o evento pedido em termos de uma diferença e usar a propriedade de normais independentes. Queremos
Defina
. Como
e
são independentes e ambos normais,
é normal com
- média
; - variância
(a subtração não muda o sinal das variâncias), portanto
O desvio-padrão de
é
Assim
Passo 5
Padronizar
para usar a tabela da normal padrão. Queremos
Calcular o valor de
:
Então
onde
é uma normal padrão
.
Passo 6
Encontrar
a partir da função de distribuição da normal padrão
. Usando valores tabelados/interpolação entre
e
:
Interpolando para
(ou usando uma calculadora/soft), obtemos
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação curta e ânimo: isso significa que, quando três atendimentos independentes têm média total
minutos e a intervenção dura em média
minutos com dispersões dadas, há cerca de
de chance de que a soma dos três atendimentos seja menor que a duração da intervenção. Vai dar tudo certo na prova — já entendeu o método!