Questăo 1 (42 pts)
Uma fábrica utiliza consecutivamente 60 lâmpadas industriais em um sistema que nunca é desligado: uma nova lâmpada começa a ser usada assim que a anterior queima. A vida útil de cada lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial com média 250 horas. Qual é a probabilidade de que o tempo total de funcionamento das 60 lâmpadas esteja entre 13500 e 16000 horas?
Uma fábrica utiliza consecutivamente 60 lâmpadas industriais em um sistema que nunca é desligado: uma nova lâmpada começa a ser usada assim que a anterior queima. A vida útil de cada lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial com média 250 horas. Qual é a probabilidade de que o tempo total de funcionamento das 60 lâmpadas esteja entre 13500 e 16000 horas?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedido: calcular a probabilidade de que o tempo total de funcionamento das 60 lâmpadas esteja entre
e horas. - Informações fornecidas:
- São
lâmpadas usadas sequencialmente (vidas independentes). - A vida útil de cada lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial com média
horas.
- São
Então queremos
onde
é o tempo total de funcionamento das
lâmpadas.
Passo 2
Modelagem e escolha do método (explicando por que escolher esse método):
- Cada lâmpada tem tempo de vida exponencial com média
horas. Vou chamar cada tempo de vida de para . - O tempo total é a soma
- A soma de variáveis exponenciais independentes e identicamente distribuídas tem distribuição Gama (caso inteiro: Erlang) com parâmetros forma
e escala (ou taxa ). A expressão exata da CDF gamma existe, mas para envolve soma de termos de Poisson/Gamma que é pouco prático para cálculo manual sem computador. - Como
é um número grande, é razoável usar a aproximação pelo Teorema Central do Limite: será aproximadamente normal com média e variância iguais às da soma. Essa aproximação é o método que vou usar porque permite cálculo manual passo a passo usando a tabela da normal padrão.
Passo 3
Fórmulas úteis (e explicação delas) — média e variância da soma:
- Se cada
tem média e variância , então para variáveis independentes
- Para a distribuição exponencial com média
, a variância é
(Explicação curta: para exponencial com parâmetro
tem
e
; aqui
.)
- Calculando:
- Desvio padrão de
:
Para calcular manual:
Aproximando
, obtemos
Ou seja
horas.
Passo 4
Aplicando o Teorema Central do Limite (explicação do uso e fórmula):
- Pelo CLT, para
grande, a soma é aproximadamente normal:
- Convertendo o evento para a normal padrão
, para um valor qualquer:
- Queremos
Passo 5
Cálculo dos escores
(passo a passo aritmético):
- Primeiro esquerdo:
- Segundo (direito):
Passo 6
Usando a tabela da normal padrão para encontrar as probabilidades:
- Notação:
para . - Pela tabela (ou interpolando valores conhecidos):
-
. (explicação: , ; interpolando chega perto de .) - Para o negativo:
. Pela tabela, , então
-
- Assim a probabilidade pedida é
Passo 7
Interpretação e observações finais (curta):
- O valor obtido indica que há aproximadamente
de chance de que a soma dos tempos de vida das lâmpadas caia entre e horas. - Comentário sobre a aproximação: para
a aproximação normal costuma ser bastante razoável. Se fosse necessário maior precisão, usar-se-ia a CDF exata da Gama/Erlang (computacionalmente).