Questăo 1 (42 pts)
Uma fábrica utiliza consecutivamente 60 lâmpadas industriais em um sistema que nunca é desligado: uma nova lâmpada começa a ser usada assim que a anterior queima. A vida útil de cada lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial com média 250 horas. Qual é a probabilidade de que o tempo total de funcionamento das 60 lâmpadas esteja entre 13500 e 16000 horas?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedido: calcular a probabilidade de que o tempo total de funcionamento das 60 lâmpadas esteja entre 13500 e 16000 horas.
  • Informações fornecidas:
    • São 60 lâmpadas usadas sequencialmente (vidas independentes).
    • A vida útil de cada lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial com média 250 horas.
Então queremos
\mathbb{P}\big(13500 \le S \le 16000\big),
onde S é o tempo total de funcionamento das 60 lâmpadas.

Passo 2

Modelagem e escolha do método (explicando por que escolher esse método):
  • Cada lâmpada tem tempo de vida exponencial com média 250 horas. Vou chamar cada tempo de vida de X_i para i=1,\dots,60.
  • O tempo total é a soma
S=\sum_{i=1}^{60} X_i.
  • A soma de variáveis exponenciais independentes e identicamente distribuídas tem distribuição Gama (caso inteiro: Erlang) com parâmetros forma k=60 e escala \theta=250 (ou taxa \lambda=1/250). A expressão exata da CDF gamma existe, mas para k=60 envolve soma de termos de Poisson/Gamma que é pouco prático para cálculo manual sem computador.
  • Como 60 é um número grande, é razoável usar a aproximação pelo Teorema Central do Limite: S será aproximadamente normal com média e variância iguais às da soma. Essa aproximação é o método que vou usar porque permite cálculo manual passo a passo usando a tabela da normal padrão.

Passo 3

Fórmulas úteis (e explicação delas) — média e variância da soma:
  • Se cada X_i tem média \mathbb{E}[X_i] e variância \mathrm{Var}(X_i), então para variáveis independentes
\mathbb{E}[S]=\sum_{i=1}^{60}\mathbb{E}[X_i]=60\cdot\mathbb{E}[X_1],
\mathrm{Var}(S)=\sum_{i=1}^{60}\mathrm{Var}(X_i)=60\cdot\mathrm{Var}(X_1).
  • Para a distribuição exponencial com média \mathbb{E}[X_1]=250, a variância é
\mathrm{Var}(X_1)=250^2=62500.
(Explicação curta: para exponencial com parâmetro \lambda tem \mathbb{E}=1/\lambda e \mathrm{Var}=1/\lambda^2; aqui \lambda=1/250.)
  • Calculando:
\mathbb{E}[S]=60\cdot250=15000.
\mathrm{Var}(S)=60\cdot62500=60\cdot62500=3750000.
  • Desvio padrão de S:
\sigma_S=\sqrt{\mathrm{Var}(S)}=\sqrt{3750000}.
Para calcular manual:
3750000=375\cdot10000\quad\Rightarrow\quad \sqrt{3750000}=\sqrt{375}\cdot100.
Aproximando \sqrt{375}\approx19{,}3649167, obtemos
\sigma_S\approx19{,}3649167\cdot100=1936{,}49167.
Ou seja \sigma_S\approx1936{,}49 horas.

Passo 4

Aplicando o Teorema Central do Limite (explicação do uso e fórmula):
  • Pelo CLT, para n=60 grande, a soma S é aproximadamente normal:
S \approx N\big(\mu_S,\sigma_S^2\big)=N\big(15000,\;1936{,}49^2\big).
  • Convertendo o evento para a normal padrão Z\sim N(0,1), para um valor s qualquer:
Z=\frac{S-\mu_S}{\sigma_S}.
  • Queremos
\mathbb{P}\big(13500 \le S \le 16000\big) = \mathbb{P}\!\left(\frac{13500-15000}{\sigma_S} \le Z \le \frac{16000-15000}{\sigma_S}\right).

Passo 5

Cálculo dos escores z (passo a passo aritmético):
  • Primeiro esquerdo:
z_1=\frac{13500-15000}{1936{,}49167}=\frac{-1500}{1936{,}49167}\approx-0{,}7745967.
  • Segundo (direito):
z_2=\frac{16000-15000}{1936{,}49167}=\frac{1000}{1936{,}49167}\approx0{,}5163979.

Passo 6

Usando a tabela da normal padrão para encontrar as probabilidades:
  • Notação: \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z) para Z\sim N(0,1).
  • Pela tabela (ou interpolando valores conhecidos):
    • \Phi(0{,}5164)\approx0{,}6972. (explicação: 0{,}51\mapsto0{,}6950, 0{,}52\mapsto0{,}6985; interpolando chega perto de 0{,}6972.)
    • Para o negativo: \Phi(-0{,}7746)=1-\Phi(0{,}7746). Pela tabela, \Phi(0{,}7746)\approx0{,}7807, então
    \Phi(-0{,}7746)\approx1-0{,}7807=0{,}2193.
  • Assim a probabilidade pedida é
\mathbb{P}\big(13500 \le S \le 16000\big)\approx \Phi(0{,}5164)-\Phi(-0{,}7746)\approx0{,}6972-0{,}2193=0{,}4779.

Passo 7

Interpretação e observações finais (curta):
  • O valor obtido indica que há aproximadamente 47{,}8\% de chance de que a soma dos tempos de vida das 60 lâmpadas caia entre 13500 e 16000 horas.
  • Comentário sobre a aproximação: para k=60 a aproximação normal costuma ser bastante razoável. Se fosse necessário maior precisão, usar-se-ia a CDF exata da Gama/Erlang (computacionalmente).

Resposta

0,4779 (aproximadamente)

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