Questão 9-59 (Cisalhamento Máximo) “Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta para o estado de tensão: \sigma_{x}=10 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=40 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=20 \mathrm{MPa}.”

Passo 1

O enunciado dá o estado de tensão plano com os valores:
\sigma_{x}=10\,\mathrm{MPa}, \sigma_{y}=40\,\mathrm{MPa} e \tau_{xy}=20\,\mathrm{MPa}.
Pede-se determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta para esse estado de tensão.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular):
  • Em tensões planas é útil trabalhar com o círculo de Mohr. Dois quantidades-chave são a média das tensões normais e o raio do círculo, que dão as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento em plano.
  • Definições:
    • média das tensões normais:
    \sigma_{\text{med}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}Aqui \sigma_{\text{med}} é o valor médio entre \sigma_x e \sigma_y.
    • raio do círculo de Mohr (que é a máxima tensão de cisalhamento em plano):
    R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.Aqui \left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right) mede a diferença normal dividida por 2, e \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento dada.
  • As tensões principais (os valores normais nos eixos principais) são: \sigma_{1,2}=\sigma_{\text{med}}\pm R.
  • A tensão de cisalhamento máxima absoluta no corpo (considerando os três eixos principais) é \tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2},onde \sigma_{\max} e \sigma_{\min} são as maiores e menores tensões principais. Para estados planos comuns, isso coincide com R se a menor tensão principal for a outra raiz encontrada (ou com (\sigma_1-\sigma_3)/2 se houver \sigma_3 diferente).

Passo 3

Calcular a média \sigma_{\text{med}} usando os dados fornecidos:
\sigma_{\text{med}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{10+40}{2}= \frac{50}{2}=25\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular o raio R do círculo de Mohr (máxima cisalhamento em plano):
Primeiro compute a diferença dividida por dois:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{10-40}{2}=\frac{-30}{2}=-15\\ \mathrm{MPa}.
Agora aplique a fórmula de R:
R=\sqrt{(-15)^2 + 20^2}=\sqrt{225 + 400}=\sqrt{625}=25\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Determinar as tensões principais:
\sigma_1=\sigma_{\text{med}}+R=25+25=50\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2=\sigma_{\text{med}}-R=25-25=0\\ \mathrm{MPa}.
Como \sigma_1=50\,\mathrm{MPa} e \sigma_2=0\,\mathrm{MPa}, a tensão de cisalhamento máxima absoluta é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}=\frac{50-0}{2}=25\\ \mathrm{MPa}.
Observação: o raio R já deu 25\,\mathrm{MPa}, que coincide com a máxima tensão de cisalhamento no plano; levando em conta os três eixos (com \sigma_3=0 neste problema), o valor absoluto máximo também é 25\,\mathrm{MPa}.

Resposta

25\,\mathrm{MPa}

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