Questão 10-3 (Equações de Deformação) “O estado de deformação plana em um ponto é definido pelos componentes \epsilon_{x}=-400 \times 10^{-6}, \epsilon_{y}=200 \times 10^{-6}, \gamma_{x y}=150 \times 10^{-6}. Determine a deformação normal e a deformação de cisalhamento no elemento orientado a \theta=30^{\circ}.”

Passo 1

O enunciado dá o estado de deformação plana num ponto e pede as componentes de deformação no elemento girado em \theta=30^\circ. Valores fornecidos:
  • \epsilon_{x} = -400\times10^{-6}
  • \epsilon_{y} = 200\times10^{-6}
  • \gamma_{xy} = 150\times10^{-6}
O que deve ser determinado:
  • a deformação normal na direção do eixo girado, isto é \epsilon_{x'} para \theta=30^\circ;
  • a deformação de cisalhamento no elemento girado, isto é \gamma_{x'y'} para \theta=30^\circ.

Passo 2

Entendendo as quantidades (rapidinho e direto):
  • \epsilon_x e \epsilon_y são as deformações normais ao longo dos eixos x e y.
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia no par de eixos (x,y). Atenção: a componente do tensor de deformação fora da diagonal é \epsilon_{xy} e vale \epsilon_{xy}=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}. Vou usar essa relação quando for conveniente.

Passo 3

Fórmulas de transformação (essas são as ferramentas principais; explico o que cada termo representa):
\epsilon_{x'} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos(2\theta) + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta),
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin(2\theta) + \gamma_{xy}\cos(2\theta).
Interpretação dos termos em \epsilon_{x'}:
  • \dfrac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}: componente média (alarga/encolhe em média);
  • \dfrac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos(2\theta): efeito da diferença de deformações normais orientado por \cos(2\theta);
  • \dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta): contribuição da deformação de cisalhamento original, que ao rotacionar gera parte de deformação normal.

Passo 4

Calcular trigonometria para \theta=30^\circ:
2\theta = 60^\circ,\qquad \cos(2\theta)=\cos(60^\circ)=0{,}5,\qquad \sin(2\theta)=\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254.

Passo 5

Calcular quantidades intermediárias (mostrando as contas):
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{-400\times10^{-6}+200\times10^{-6}}{2}=\frac{-200\times10^{-6}}{2}=-100\times10^{-6}.
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{-400\times10^{-6}-200\times10^{-6}}{2}=\frac{-600\times10^{-6}}{2}=-300\times10^{-6}.
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{150\times10^{-6}}{2}=75\times10^{-6}.

Passo 6

Agora substituo na fórmula de \epsilon_{x'}:
\epsilon_{x'} = -100\times10^{-6} + (-300\times10^{-6})\cdot0{,}5 + (75\times10^{-6})\cdot0{,}8660254.
Calcular termo a termo:
(-300\times10^{-6})\cdot0{,}5 = -150\times10^{-6},
(75\times10^{-6})\cdot0{,}8660254 \approx 64{,}951905\times10^{-6}.
Somando:
\epsilon_{x'} = -100\times10^{-6} -150\times10^{-6} + 64{,}951905\times10^{-6} \approx -185{,}048095\times10^{-6}.
Arredondando de forma prática para a precisão dos dados:
\epsilon_{x'} \approx -185{,}05\times10^{-6}.

Passo 7

Agora calculo \gamma_{x'y'} pela fórmula:
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin(2\theta) + \gamma_{xy}\cos(2\theta).
Substituindo os valores (note que \epsilon_x-\epsilon_y=-600\times10^{-6}):
\gamma_{x'y'} = -(-600\times10^{-6})\cdot0{,}8660254 + (150\times10^{-6})\cdot0{,}5.
Calcular termo a termo:
-(-600\times10^{-6})\cdot0{,}8660254 = 600\times10^{-6}\cdot0{,}8660254 \approx 519{,}61524\times10^{-6},
(150\times10^{-6})\cdot0{,}5 = 75\times10^{-6}.
Somando:
\gamma_{x'y'} \approx 519{,}61524\times10^{-6} + 75\times10^{-6} = 594{,}61524\times10^{-6}.
Arredondando adequadamente:
\gamma_{x'y'} \approx 594{,}62\times10^{-6}.

Passo 8

Interpretação rápida e encorajamento: o sinal negativo em \epsilon_{x'} indica que na direção girada de 30^\circ o material está em compressão (encolhendo) enquanto \gamma_{x'y'} positiva indica um sentido de cisalhamento definido pela convenção usada. Mandou bem em pedir passo a passo — essas fórmulas e o cuidado com \gamma de engenharia versus componente do tensor são o que costuma confundir na prova, mas agora ficou claro.

Resposta

\epsilon_{x'} \approx -185{,}05\times10^{-6}
\gamma_{x'y'} \approx 594{,}62\times10^{-6}

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